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Beziehung zwischen Quotienten- und Wurzelkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, konvergenzkriterien

babara aktiv_icon

19:22 Uhr, 29.05.2016

Hallo, bitte helft mir bei den folgenden Aufgaben:

a)

Die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{2^{2 n}} + \frac{1}{3^{2 n + 1}})

soll nach einem der beiden Kriterien auf Konvergenz untersucht werden und ggf. die Summe berechnet werden.

Die Konvergenz meine ich mit dem Quotientenkriterium beweisen zu können, obwohl mein Analysisbuch dieses Beispiel als Beleg dafür angegeben hat, dass hier nur das Wurzelkriterim weiter hilft. Was mache ich in der folgenden Argumentation falsch?

Da bei den Summanden der erste größer als der zweite ist, muss doch

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{2 n - 1}}

eine Majorante der Ausgangsreihe sein, und da nach meiner Rechnung

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = \frac{1}{4} < 1

ist, würde doch Konvergenz folgen ???

b)

Es soll bewiesen werden, dass eine Reihe, die nach dem Quotientenkriterium konvergent ist, auch nach dem Wurzelkriterium konvergent ist (aber nicht umgekehrt, wofür obiges Beispiel angegeben wurde).

Barbara

ledum aktiv_icon

19:41 Uhr, 29.05.2016

Hallo
du hast zwar recht mit deinem Konvergenzbeweis, aber du hast ja 2 Argumente benutzt, 1. Majorante, 2. QK. wenn du wirklich mit den ursprünglichen

a_{n}

arbeitest, glaub ich nicht dass das QK hinkommt. ein gutes Beispiel ist es trotz allem nicht, da man eigentlich direkt die Summe zweier geometrischer konvergenter Reihen sieht.
Gruß ledum

oculus aktiv_icon

13:15 Uhr, 30.05.2016

Hallo,
richtig ist ledums Hinweis, dass du hier das Quotientenkriterium nur unter Voraussetzung des Majorantenkriteriums nutzen kann, was beim Wurzelkriterium nicht notwendig ist. Aber zu ihrem Hinweis, man sehe ja sofort die Konvergenz als Summe zweier geometrischer Reihen, gehört eigentlich, dass auch hier eine Voraussetzung genutzt wird, nämlich die hier statthaften Umordnung der Reihenglieder.

Der Teil

b)

deiner Aufgabe ist nicht einfach. Du müsstest eigentlich Hinweise in deinen Analysistexten finden.

oculus

babara aktiv_icon

18:45 Uhr, 31.05.2016

Danke für eure Antworten.

Ich habe mal gegoogelt, um einen Hinweis für den Aufgabenteil

b)

zu bekommen, habe aber den Beweis nicht gefunden. Vielleicht kann man das gar nicht beweisen ???

Barbara

pwmeyer aktiv_icon

18:59 Uhr, 31.05.2016

Hallo,

wenn das Quotientenkriterium erfüllt ist, dann wird im Beweis dafür gezeigt, dass es ein

n

gibt so dass

| a_{n + m} | \leq | a_{n} | \cdot q^{m}

ist oder so ähnlich. Daraus folgt, dass auch das Wurzelkriterium erfüllt ist.

Gruß pwm

oculus aktiv_icon

22:57 Uhr, 01.06.2016

Hallo Barbara,

ich meine den Beweis für den Teil

b)

deiner Aufgabe führen zu können. Ich habe ihn bis jetzt nur handschriftlich für mich skizziert. Da die damit verbundene Schreibarbeit nicht unerheblich ist, wäre ich dir oder sonst einem Mitglied des Forums dankbar, mir ggf. auf diesem Wege eine Nachricht zukommen zu lassen, falls man den Beweis doch irgendwo nachlesen könnte.

Gruß
oculus

oculus aktiv_icon

22:57 Uhr, 01.06.2016

Hallo Barbara,

ich versuche es mal ausführlich und hoffentlich auch verständlich zu machen.
Es geht ja darum zu beweisen, dass mit der Konvergenzbedingung des Quotientenkriteriums auch die Konvergenzbedingung des Wurzelkriteriums erfüllt ist.
Es geht also darum, für die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{k}

mit

a_{n} \neq 0

für fast alle

n \in ℕ (d . h

. für alle

a_{n}

ab einem

m \in ℕ)

die Implikation

a) \Rightarrow b)

zu zeigen mit

a)

Es gibt ein

q \in ℝ

mit

0 < q < 1,

so dass

\frac{| a_{k + 1} |}{| a_{k} |} \leq q

und

b)

Es gibt auch ein

q' \in ℝ

mit

0 < q' < 1,

so dass

\sqrt[k]{| a_{k} | \leq q'}

.

Beweis: Da die Absolutbeträge

| a_{k} |

positive reelle Zahlen, kann man die Absolutstriche fortlassen und die

a_{k}

selbst als pos. reelle Zahlen interpretieren.
Nach

a)

soll für alle

n \geq m

die Ungleichung

| \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} | \leq q

gelten, also

\frac{a_{m + 1}}{a_{m}} \leq q, \frac{a_{m + 2}}{a_{m + 1}} \leq q, \frac{a_{m + 3}}{a_{m + 2}} \leq q,

. . . . .

, \frac{a_{n - 3}}{a_{n - 2}} \leq q, \frac{a_{n - 2}}{a_{n - 1}} \leq q, \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \leq q

.
Multipliziert man die Glieder sowohl der linken als auch der rechten Seite dieser Ungleichungen, so kommt

\frac{a_{m + 1}}{a_{m}} \cdot \frac{a_{m + 2}}{a_{m + 1}} \cdot \frac{a_{m + 3}}{a_{m + 2}} \cdot

. . . . . . . . .

, \frac{a_{n - 2}}{a_{n - 3}} \cdot \frac{a_{n - 3}}{a_{n - 2}} \cdot \frac{a_{n - 2}}{a_{n - 1}} \cdot a_{n} \leq q^{n - m}

wobei sich auf der linken Seite alle

a_{k}

von

k = m + 1

bis

k = n - 1

wegkürzen lassen. Man erhält dann

\frac{1}{a_{m}} \cdot a_{n} \leq q^{n - m} = \frac{q^{n}}{q^{m}}

\Leftrightarrow a_{n} \leq \frac{a_{m}}{q^{m}} \cdot q^{n}

\Leftrightarrow \sqrt[n]{a_{n}} \leq q \cdot \sqrt[n]{\frac{a_{m}}{q^{m}}}

.
Da aber der Radikand

\frac{a_{m}}{q^{m}}

eine feste pos. Zahl ist, ist

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{a_{m}}{q^{m}}} = 1,

so dass für alle hinreichend großen

n \in ℕ

jedes

q'

zwischen

q

und 1 die Konvergenzvoraussetzung

\sqrt[n]{a_{n}} < q' < 1

des Wurzelkriteriums erfüllt.

Grüße von
oculus

babara aktiv_icon

12:27 Uhr, 03.06.2016

Danke, oculus, für deine Mühe und die gute Erklärung.
Der Gedanke mit dem Kürzen war ja naheliegend; man muss aber erst darauf kommen.
Zwei Fragen noch:

Wieso ist der Limes von n-te Wurzel aus

\frac{a_{m}}{q_{m}}

gleich 1
und wieso folgt daraus die Existenz von

q'

mit

0 < q' < 1

?

Barbara

ledum aktiv_icon

11:37 Uhr, 04.06.2016

Hallo
was ist der

lim

für die

n

te Wurzel aus irgendeiner (positiven)Zahl?
für deine 2 te Frage sieh die Rechnung einfach genau an!
Gruß ledum

babara aktiv_icon

12:57 Uhr, 05.06.2016

Danke ledum;
meine zweite Frage war wirklich überflüssig, und die Herleitung von

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}

für positives a habe ich im Buch noch mal durchgelesen.

Freundliche Grüße von
Barbara

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