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Biegelinie für veränderlichen Querschnitt

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Balken, Biegelinie, Gewöhnliche Differentialgleichungen

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20:12 Uhr, 06.03.2019

Hallo!

Heute habe ich ein Gedankenexperiment zum Thema Technische Mechanik.
Und zwar geht es um ein Sprungbrett, welches an einem Ende eingespannt ist und am anderen Ende senkrecht belastet wird. Von Interesse ist die sich ergebende Biegelinie, beschrieben hier:
http//www.soedernet.de/math/1samstage/05/biegelinie.pdf

Das gilt natürlich nur für einen konstanten Querschnitt bzw. ein konstantes Flächenträgheitsmoment über die gesamte Länge.

Nun frage ich mich, ob es möglich ist, durch einen Querschnittsverlauf über die Länge

(z . B

. das Sprungbrett wird vorne schmaler) einen Biegeradius zu erreichen, der an jeder Stelle - also für jedes

x -

identisch ist. Damit würde das Brett kreisförmig gebogen.

Ist das möglich? Wie geht man an die Sache heran? Wie müßte die Funktion der Breite des Bretts über die Länge lauten? Bin leider eine ziemliche Niete in Mathe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

08:45 Uhr, 07.03.2019

Hallo
"Ist das möglich?"
Ja, und das ist sogar gar nicht schwer.
In der von dir benannten sehr kurz gehaltenen *.pdf die Gleichung

(7)

besagt:
z"=

- \frac{3 \cdot G}{Y \cdot A \cdot d^{2}} \cdot (e - x)

Das ist wie gesagt etwas kurz gehalten.
Wenn du Biegelehre studierst, lernst du die entsprechende allgemein-gültige Formel für die Krümmung:
z"=

\frac{M_{B}}{E \cdot I} = \frac{M_{B}}{Y \cdot I}

(Anmerkung: Ob du den Elastizitätsmodul nun wie üblich

' E'

nennst, oder wie in dieser Abhandlung mal

' Y',

soll niemanden verwirren. Da sind die Quellen nun leider einmal uneinheitlich.)
"I" steht für das Trägheitsmoment des Trägers.
"M_B" steht für das Biegemoment.

Du willst nun als Kreislinie verformen. Nun, der Kreis hat ja eine konstante Krümmung. Das machts sehr einfach:
z"=

\frac{M_{B}}{E \cdot I} =

konstant

Das Biegemoment kannst du dir leicht klar machen:

M_{B} =

Kraft

\cdot

Hebelarm

= G \cdot (10 - x)

Leider sind in der Abhandlung die Einheiten nicht benannt. Es wäre schon besser zu wissen und zu berücksichtigen, ob der Maßstab für die x-Achse denn nun Millimeter, Meter, Inch oder gar Kilometer beträgt.
Nehmen wir mal an:

M_{B} =

Kraft

\cdot

Hebelarm

= G \cdot (10 m - x)

Dann gilt:

\frac{G \cdot (10 m - x)}{E \cdot I} =

konstant

Du wirst also tatsächlich dein Trägheitsmoment I über die Länge variieren müssen, gemäß:

(G \cdot (10 m -

x))/(E*konstant)

= I (x)

Wenn du tatsächlich nur die Breite des Sprungbretts variiren willst, dann sieht das geübte Auge schnell:
Flächenträgheitsmoment für Rechteck-Querschnitte der Höhe

h

und Breite

b :

(siehe

z . B . :

www.ingenieurkurse.de/technische-mechanik-elastostatik/balkenbiegung/flaechentraegheitsmomente/flaechentraegheitsmomente-in-abhaengigkeit-vom-koordinatensystem.html
I=

\frac{b \cdot h^{3}}{12}

I(x)

= \frac{b (x) \cdot h^{3}}{12} = (G \cdot (10 m -

x))/(E*konstant)

b (x) = \frac{12}{h} \cdot (G \cdot (10 m -

x))/(E*konstant)

b (x) = C_{1} \cdot (10 m - x)

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09:28 Uhr, 07.03.2019

Wow, vielen lieben Dank für Deine ausführliche Antwort. :-)
Ich schaue mir das mal in Ruhe an.

Edit:
Mir ist noch nicht ganz klar, wie Du von h³ auf

h

kommst. Den Rest habe ich glaube soweit verstanden. Es ergibt sich eine Flächenform eines gleichschenkligen Dreiecks.

anonymous

15:50 Uhr, 07.03.2019

"Mir ist noch nicht klar, wie du von

h^{3}

auf

h

kommst."
Na ja, da habe ich mich offensichtlich verschrieben/vertan.
aus

\frac{b \cdot h^{3}}{12} =

(G*(10m-x))/(E*konstante)
folgt natürlich:

b (x) =

12/(h^3)*(G*(10m-x))/(E*konstante)

= C_{1} \cdot (10 m - x)

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