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Bijektivität und Urbild einer Abbildung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: bijektiv, umkehrabbildung, urbild

derguru aktiv_icon

12:25 Uhr, 09.11.2008

hey,

ich habe folgende aufgabe zu lösen, jedoch habe ich teilweise kleine probleme

gegeben sei die abbildung

f : Z x Z - \to Z x Z, (x, y) \to (2 x + 3 y,3 x + 4 y)

zeigen sie, dass

f

bijektiv ist, berechnen sie das urbild von

(1,0)

und

(0,1)

und bestimmen sie die umkehrabbildung

so nun habe ich bei der bestimmung der urbilder folgende lösung für

(1,0)

bekomme ich

(- 4,3)

und für

(0,1)

dann

(3, - 2)

meine umkerabbildung lautet

(- 4 x + 3 y), (3 x - 2 y)

stimmen diese antworten jeweils?
und nun zu meinem problem, ich weiß einfach nicht wie ich die bijektivität beweisen soll, bräuchte hier hilfe

\frac{:}{}

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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22:48 Uhr, 09.11.2008

hat keiner eine ahnung?

: (

anonymous

23:00 Uhr, 09.11.2008

Hallo,

die Umkehrfunktion stimmt soweit.

f

ist eine lineare Funktion, das vereinfacht das ganze um einiges. Es gilt dann nämlich:

f

surjektiv

\Leftrightarrow d i m (I m (f)) = d i m (W e r t e b e r e i c h)

und

f

injektiv

\Leftrightarrow K e r n (f) = {0} \Leftrightarrow d i m K e r n (f) = 0

Gruß
Tobias

derguru aktiv_icon

23:17 Uhr, 09.11.2008

danke schonmal für deine antwort

〉

ne frage, was heußt genau dim und kern^^
hab davon leider noch nie was gehört, jedenfalls hatten wir davon noch nichts in der vorlesung

\frac{:}{}

anonymous

00:06 Uhr, 10.11.2008

Uha,

d i m

steht für Dimension (Anzahl der Basis-Vektoren) und

K e r n

ist definiert als:

K e r n (f) := {v \in D ∣ f (v) = 0}

, wobei D der Definitionsbereich von f ist.

Aber wenn das noch nicht dran war, wirst du das auch nicht anwenden können. Also musst du es doch etwas ander machen...

Eine Funktion

f

ist injektiv, wenn aus

f (v_{1}) = f (v_{2})

folgt, dass

v_{1} = v_{2}

. Du musst also zwei beliebige Punkte (z.B.

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})

) in

f

einsetzen und ein Gleichungssystem aufstellen. Das sollte dann

x_{1} = x_{2}

und

y_{1} = y_{2}

liefern...

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01:03 Uhr, 10.11.2008

ne frage, kann ich bijektiviät einfach auch mithilfe der umkehrabbildung beweisen?

also:

(f (f^{- 1})) = (f^{- 1} (f (x, y)))

und wenn ich jetzt beides ausrechne (poste jetzt mal nicht die langen gleichungen) kommt auf beiden seiten

(x, y

) raus

wäre das schon ein beweis?
habe irgendwo mal gelesen dass man das mit der umkehrabbildung machen könnte bin mir aber nicht mehr ganz sicher

\frac{:}{}

thx

〉

anonymous

23:40 Uhr, 10.11.2008

Naja,

das ist etwas seltsam. Eigentlich kannst du Injektivität nicht mithilfe der Umkehrabbildung zeigen. Wenn es eine Umkehrabbildung auf dem ganzen

R^{2}

gibt, dann ist die Funktion bereits bijektiv. Das ist die Voraussetzung, dass es eine Umkehrabbildung gibt. Wenn du also die Umkehrabbildung bestimmen kannst, und zeigst, dass diese auf dem ganzen

R^{2}

definiert ist, dann hast du indirekt die Bijektivität gezeigt. Schätze aber, das würde dir als "Aufgabe verfehlt" angerechnet werden.

Gruß
Tobias

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