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Bild und Kern von Polynomen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

markus208 aktiv_icon

08:46 Uhr, 10.12.2020

Guten morgen, ich habe die lineare abbildung L:

ℙ_{N} \to ℙ_{N + 1} m i t p \to x p

Ich muss jetzt den Kern und das Bild bestimmen.

Ich habe mir überlegt, dass der Kern(L)={p

\in ℙ_{N}

p=0}sein müsste, da dann x*p : x*0=0 ist. Ist das richtig?
Das Bild wäre doch dann Bild(L)={v

\in ℙ_{N + 1}

v=xp} oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

09:05 Uhr, 10.12.2020

Hallo,

> Ich habe mir überlegt, dass der Kern(L)={p∈ℙN p=0}sein müsste, da dann x*p : x*0=0 ist. Ist das richtig?

Hm, deine Überlegung ist zwar korrekt, aber irgendwie verquer und außerdem unvollständig.
Was meine ich genau?

Du sollst/willst zeigen:

\ker (L) = {0}

Ich hoffe, dir ist bewusst, dass das zweierlei bedeutet:
(i)

\ker (L) \subseteq {0}

und
(ii)

\ker (L) \supseteq {0}

(ii) ist eigentlich trivial, jedenfalls beweist man üblicherweise, dass für jeden Vektorraumhomomorphismus

φ : V \to W

stets

0 \in \ker (φ)

gilt.
Den Teil hast du gemacht.
Der eigentlich relevante Teil ist vor diesem Hintergrund damit (i): Du musst untersuchen, ob aus

p \cdot x = 0

automatisch

p = 0

folgt.
Auch das ist nicht schwierig. Ich finde, hierfür eignet sich die Beweismethode der Kontraposition: Wenn du also

A \Rightarrow B

beweisen willst, ist die kontraponierte Aussage

\neg B \Rightarrow \neg A

.
Diese beiden sind äquivalent (oder in Worten der Logik:

(A \Rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)

ist eine Tautologie).
Die Kontraposition bildet sozusagen den Kern eines Widerspruchsbeweises.

Konkret: Zeige: Aus

p \neq 0

folgt

x p \neq 0

.

Mfg Michael

markus208 aktiv_icon

09:18 Uhr, 10.12.2020

Danke für deine ausführliche Antwort. Wenn man doch x=0 wählt, dann wäre doch xp=0 obwohl p

\neq

0 ist , oder kann man das nicht so wählen, bzw müsste man dann eine Fallunterscheidung machen für x = 0 und x

\neq

michaL aktiv_icon

09:26 Uhr, 10.12.2020

Hallo,

tja, das Problem, das deiner Frage zugrunde liegt, ist, dass

x

eben keine Zahl ist, sondern eine Polynomfunktion:

x \mapsto x

.
Da kann man

x

nicht wählen.
Eher ist dort ein Quantor implizit enthalten:

x \cdot p = 0 \forall x \in Grundmenge

.

Mfg Michael

markus208 aktiv_icon

09:38 Uhr, 10.12.2020

Okay ich habe es jetzt mal versucht:
Zeige aus p

\neq

0 folgt xp

\neq

0:

Sei p=

\sum_{n = 0}^{N} (a_{n} x^{n})

So ist xp=x

\sum_{n = 0}^{N} (a_{n} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{N} (a_{n} x^{n} x) = \sum_{n = 0}^{N} (a_{n} x^{n + 1})

Irgendwie komme ich nicht mehr weiter

ermanus aktiv_icon

09:38 Uhr, 10.12.2020

Hallo,
ich will mich hier nicht einmischen, habe aber zwei
Fragen: ist

ℙ_{N}

die Menge aller Polynome vom Grad

\leq N

oder die Menge aller Polynomfunktionen vom Grade

\leq N

?
Welcher Koeffizientenkörper wird zugrundegelegt ?
Gruß ermanus

markus208 aktiv_icon

09:43 Uhr, 10.12.2020

Ich gehe ehr davon aus, dass es die Meneg aller Polynome vom Grad

\leq

N ist, aber die Aufgabe verrät leider auch nicht mehr wie ich oben geschrieben habe.
Zu deiner zweiten Frage sagt die Aufgabe auch nichts.

ermanus aktiv_icon

09:53 Uhr, 10.12.2020

Zwei Polynome über einem Körper sind genau dann gleich,
wenn alle ihre Koeffizienten übereinstimmen ...
(Das gilt für Polynomfunktionen nicht notwendigerweise)

michaL aktiv_icon

09:55 Uhr, 10.12.2020

Hallo,

ich gebe zu, dass ich (für andere vielleicht verwirrenderweise) aus gutem Grunde den Begriff Polynomfunktion gewählt habe, obwohl ich schon auch davon ausgehe, dass es sich um Polynome handeln soll.
Ich fand es damit nur leichter zu erklären, warum

x = 0

eignetlich keine Option ist.

Mfg Michael

markus208 aktiv_icon

09:56 Uhr, 10.12.2020

Dann bin ich mir sicher, dass hie nicht die Polynomfunktionen gemeint sind. Aber wie komme ich jetzt weiter zu zeigen dass aus p

\neq

0 folgt, dass xp

\neq

michaL aktiv_icon

10:01 Uhr, 10.12.2020

Hallo,

verwende ermanus' Tipp: Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre jeweiligen Koeffizienten gleich sind.
Bedenke: Ist

p \neq 0

(nicht das Nullpolynom), dann ist mindestens einer seiner Koeffizitenen ungleich Null.

Mfg Michael

markus208 aktiv_icon

10:11 Uhr, 10.12.2020

Ich weiß grad nicht wo ich hänge, aber welche zwei polynome vergleiche ich?
Eigentlich muss ich doch zeigen, dass wenn p

\neq

0 ist, auch xp

\neq

0 ist. Ich erhöhe im Prinzip slle Exponent von p um 1. Daraus wird ein neues Polynom, dass ungleich 0 sein sollte.

ermanus aktiv_icon

10:35 Uhr, 10.12.2020

Wenn

p

einen Koeffizienten

\neq 0

besitzt (Michael 10:01), können dann
alle Koeffizienten von

x p

Null sein?
Bin wegen "Viele Köche ...." wieder raus ;-)

markus208 aktiv_icon

10:43 Uhr, 10.12.2020

Achso, natürlich nicht, also:
p=

\sum_{n = 0}^{N} (a_{n} x^{n}) \neq 0

--> Das heißt, das mindestens ein Koeffizeint

a_{n} \neq

0 ist.
xp=x

\sum_{n = 0}^{N} (a_{n} x^{n})

\sum_{n = 0}^{N} (a_{n} x^{n + 1})

Da ja hier nur jeweils der Exponent um eins erhöt wird und die Koeffizienten gleich bleiben und mindestens ein Koeffizent

a_{n} \neq 0

ist, ist auch xp

\neq

0.
Ist das so richtig?

Ps: Ermanus, je mehr Köche desto besser habe ich gehört :-)

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