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Bilden die ungeraden Permutationen eine Untergrupp
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Linear Abbildung, Untergruppen
 
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Meine Aufgabe lautet: Bilden die ungeraden Permutationen Bn := Sn \ An eine Untergruppe? Zuvor sollte bewiesen werden, ob die geraden Permutationen eine Untergruppe bilden. Anhand eines von mir erstellten Beispiels konnte ich die Lösung aus dem Internet nachvollziehen (siehe Bild), aber kann mir gerade nicht herleiten, ob ich mit der selben Denkweise die Aufgabe zu ungeraden Permutationen lösen kann. Zumal habe ich zwar den Lösungsansatz nachvollziehen können, aber wie komme ich bitte z.B. in der Klausur darauf, durch ausprobieren wie ich anhand eines Beispiels? Naja, bei den geraden Permutationen ist, wie ich verstanden habe geht es unter anderem auch deshalb, weil gerade und gerade wieder gerade ergibt. Nehme dann mal an, dass die ungeraden Permutationen keine Untergruppe sind, da sie addiert miteinander gerade werden? Wie würde da ein Beweis aussehen bzw kann mir das mal jemand veranschaulichen durch ein Beispiel? Vielen Dank schonmal!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Die Lösung ist kurz und schmerzlos: In jeder Untergruppe muss das neutrale Element der Ausgangsgruppe (das ist hier die identische Permutation) enthalten sein. Ist das hier der Fall? |
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Hallo, eigentlich hast du es schon festgestellt. Wenn die ungeraden Permuatationen eine Untergruppe bilden sollten, dann müsste die Identität als neutrales Element ebenfalls Element sein. Die ist aber gerade. Die Abgeschlossenheit ist nun gerade nicht verletzt. Signum ist multiplikativ, d.h. das Signum eines Produktes zweier ungerader ist als Produkt zweier ungerader Zahlen eben doch wieder ungerade. Damit kann es also keinen Beweis geben, der nachweist, dass die ungeraden Permutationen eine Untergruppe bilden. Mfg Michael |
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habe ich es richtig verstanden, dass die ungerade Permutation besagt, dass n von Sn ungerade sein muss? Z.B. S3 oder S5. Wenn ja, warum soll bei einer ungeraden Permutation das neutrale Element der ausgangsgruppe nicht enthalten sein? Für 123 mit Identität (also Abbildung) mit ebenfalls 123 geht doch genau so gut wie Beispiele mit geradem n, oder verstehen wir uns da mit Begrifflichkeiten falsch?  |
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> habe ich es richtig verstanden, dass die ungerade Permutation besagt, dass von ungerade sein muss? Nein!!! :o Schlag den Begriff mal selbst ordentlich nach - ich muss mich erstmal von dem Schock erholen. > Die Abgeschlossenheit ist nun gerade nicht verletzt. Signum ist multiplikativ, d.h. das Signum eines Produktes zweier ungerader ist als Produkt zweier ungerader Zahlen eben doch wieder ungerade. Da irrst du dich: Die Abgeschlossenheit ist sehr wohl verletzt! Es geht nicht darum, ob der Signumwert selbst gerade/ungerade ist, sondern ob das auf den Exponenten des Signumwertes zutrifft!!! Wenn man so will, geht es statt um die Multiplikation ungerader Signumwerte um die Addition modulo 2 ungerader Signumexponenten. |
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oh Gott, okay ich sehe meinen Fehler:-) Hab jetzt mit dem selben Beispiel gearbeitet. was ist gemeint mit „dann müsste die Identität als neutrales Element ebenfalls Element sein. Die ist aber gerade“ - was an meinem neutralem Element/ meiner Identität (12345) –> (12345) ist ungerade?  |
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Hallo, manno, da hab ich ja mal wieder echt Bockmist verzapft: >> Die Abgeschlossenheit ist nun gerade nicht verletzt. Signum ist multiplikativ, d.h. das Signum eines Produktes zweier >> ungerader ist als Produkt zweier ungerader Zahlen eben doch wieder ungerade. Ich widerrufe und behaupte das Gegenteil: Das Produkt zweier ungerader Permutationen ist sogar ganz sicher eine gerade Permutation. Daher ist auch die Abgeschlossenheit verletzt. Mfg Michael |
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