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Bildungsgesetze von Folgen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Bildungsgesetz, Folgen

anonymous

15:29 Uhr, 17.08.2010

Hallo,
ich hatte heute meine erste Mathestunde auf dem Gymnsasium & direkt mal Probleme.

Ich soll Bildungsgesetze zu Folgen aufstellen. Ich rätsel jetzt schon seit

90

Minuten dran rum, komm aber einfach nicht dahinter .

1.

a_{n} = 1, 16, 81, 256

a_{n} = 1, \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}

a_{n} = 3, 5, 9, 17

a_{n} = 3, 33, 333, 3333

Die Aufgaben sind ja anscheinend nicht sehr schwer, nur ich steh echt auf dem Schlauch.

Ich hoffe mir kann jemand Tipps geben, wie man solche Gesetze schneller erkennt .
Vielen Dank , Luke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

15:44 Uhr, 17.08.2010

1 . :

Vielleicht fällt auf, dass es sich durchweg um Quadratzahlen handelt:

1 = 1^{2}, 16 = 4^{2}, 81 = 9^{2}, 256 = 16^{2}

. Jetzt muss man also nur nach das Gesetz für die Basenfolge finden:

1, 4, 9, 16 -

huch, das sind ja schon wieder Quadratzahlen:

1 = 1^{2}, 4 = 2^{2}, 9 = 3^{3}, 16 = 4^{1}

.
Insgesamt haben wir also

1 = 1^{4}, 16 = 2^{4}, 81 = 3^{4}, 256 = 4^{4},

als nächstes kommt also wohl

5^{4} = 625,

allgemein

a_{n} = n^{4}

(dsofern ihr bei

n = 1

zu zählen anfangt).

2.
Vielleicht sehen die Kehrwerte einfacher aus:

1, 10, 100, 1000

. IN jeden Schritt wird verzehnfacht. Da steht also

10^{n - 1}

. Im Original also

a_{n} = \frac{1}{10^{n - 1}} = 10^{1 - n}

3.
Wenn man nicht mehr weiter weiß, bilde man die Differenzfolge:

5 - 3 = 2, 9 - 5 = 4, 17 - 9 = 8

Das sieht verdächtig nach Zweierpotenzen aus:

2, 4, 8,

als nächstes

16

in der Differenzfolge, was

16 + 17 = 33

als nächstes Folgenglied bedeutet.
Wenn man das nch ein wenig weitertreibt

(65, 129, 257, 513, 1025),

fällt vielleicht auf, dass die Zaheln selbst immer Zweierpotenz plus ein

s

sind, genauer:

a_{n} = 2^{n} + 1

4.
Das Bildungsgesetz in Ziffernschreibweise dürfte klar sein:

n

Ziffern "3" hintereinander. Dadurch wird jedes nächste Folgenglied ca. 10mal so groß wie das vorhergehende. Demnach dürfte ein Zusammenhang zu Zehnerpotenzen

10^{n} = 10, 100, 1000, 10000

bestehen. In der Tat ist

a_{n}

jeweils ungefähr ein Drittel davon, genauer

a_{n} = \frac{10^{n} - 1}{3}

anonymous

15:52 Uhr, 17.08.2010

Vielen vielen Dank :-)
ich versteh alles was du geschrieben hast, nur leider bin ich echt nicht clever genug um alleine drauf zu kommen.

Eine Art "Standartweg" um das herauszubekommen gibt es nicht, oder ?

hagman aktiv_icon

16:17 Uhr, 17.08.2010

Ein paar grundlegende Zahlenfolgen kennen (Quadratzahlen, Zweierpotenzen, Primzaheln,

...)

und diese wiedererkennen in der Folge selbst bzw. in daraus gebildeten Folgen (wie der Differenzfolge).

Am allerwichtigsten ist vielleicht die Erkenntnis, dass man im Prinzp zu jeder kurzen Vorgabe von Zahlenfolgen, beliebig fortfahren kann, wenn man sich nur eine geschickte Bildungsregel ausdenkt

. .

anonymous

16:33 Uhr, 17.08.2010

Was wäre zum Beispiel mit :

a_{n} = 1,9,17,25

das sind immer 8 Schritte dazwischen.
aber ich finde hier wieder keinerlei Anfang

: (

es ist zum verzweifeln .

anonymous

19:29 Uhr, 17.08.2010

an=

0 + 1; 8 + 1; 16 + 1; 24 + 1; ...

.
drücke nun die jeweils 1. zahl der reihe mit

n

aus.

⊙ k

anonymous

20:00 Uhr, 18.08.2010

a_{n} = (8 \cdot n) - 7

so langsam hab ich den Dreh raus.

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