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Bilinearform positiv-definit <=> Eigenwerte positi
Universität / Fachhochschule
Tags: Bilinearform, Eigenwert
 
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Sei A eine reelle symmetrische Matrix. Zeige, dass die zugehörige Bilinearform genau dann positiv-definit ist, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind. "=>" Sei A die darstellende Matrix der Bilinearform und eine reelle symmetrische Matrix. Des Weiteren sei A positiv- definit. Dann gilt . Da ein Eigenvektor zu der Matrix A ist und zum Eigenwert von gilt da nach Definition ist. Also erhalten wir . Nun muss ich noch zeigen, dass . Aber dabei hänge ich und brauche eure Hilfe. "<=": Sei A eine reelle symmetrische Matrix, die die Bilinearform darstellt. Und für alle Eigenwerte von A gilt . Da A eine reelle symmetrische Matrix ist, ist sie diagonalisierbar. Somit hat eine Basis aus Eigenvektoren zu A. Das heißt man kann jeden Vektor aus als Linearkombination aus diesen Eigenvektoren darstellen. Also und Dann haben wir mit den Eigenwerten zu den Eigenvektoren Da nach Vorraussetzung und ist folglich . muss gelten, damit die positiv- definitheit herauskommt. Aber auch hier habe ich das Problem ,dass ich nicht verstehe warum das ist. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, da hast du reichlich Fehler in deiner Argumentation. Eines deiner Hauptprobleme ist, dass du die Positivdefinitheit falsch verstanden hast: heißt positiv definit, wenn für alle , nicht für alle ; denn anderenfalls wäre z.B. nicht einmal die Einheitsmatrix positiv definit. Irgendwo sagst du: .Das wundert mich doch sehr, dass eine Matrix gleich einem ihrer Eigenwerte ist ??? Gruß ermanus |
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Danke für deine Hilfe. Das heißt ich benötige wieder einen neuen Ansatz, hast du da vielleicht einen Tipp für mich, wie ich die beiden Richtungen zeigen kann. |
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OK, betrachten wir zunächst die Richtung: " positiov definit Alle Eigenwerte von sind ". Grundsätzlich benötigst du immer die Tatsache, dass ist für alle mit . Das ist einfach das Standardskalarprodukt von mit sich selbst: . Sei nun ein Eigenvektor von zum Eigenwert , also , dann gilt wegen der Positivdefinitheit von : Nun bist du am Zuge ... |
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Ok. Aus folgt . Also haben gilt dann wegen der Positivdefinitheit von da ist für alle mit nach Def von Eigenvektor . Folgt das ist. Was ich nicht verstehe, ist dass in der Aufgabe ja von ausgegangen wird und nicht von . Somit habe ich ja nicht das Standardskalarprodukt mit sich selbst. Und somit erhalte ich doch auch nicht das sein muss. |
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Die Bilinearform ist auf ganz definiert durch . Bei der Definitheit geht es aber um das Verhalten eben dieser Bilinearform, wenn man vorn und hinten denselben (!) Vektor reinsteckt. Z.B. nimmt (das Standardskalarprodukt) jede reelle Zahl als Wert an, aber nimmt nur Werte an, wenn ist. P.S.: Nun stimmt deine Beweisrichtung "" |
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Ok, habe es jetzt verstanden Und zu "<=": Wo ist genau da mein Fehler? Das ich auch als schreiben hätte sollen. Und dann da Oder ist das der Einzige Fehler? |
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So dürfte das wohl nicht funktionieren; denn ein beliebiges hätte ja doch die Gestalt , wenn die eine Basis aus Eigenvektoren bilden. Leider weiß ich nicht, welche Sätze ihr für reelle symmetrische Matrizen zur Verfügung habt. Ich kenne folgenden Satz: "wenn die -Matrix symmetrisch ist mit den Eigenwerten , dann gibt es eine invertierbare Matrix mit Ist nun mit beliebig, so sei . Dann folgt , also ist positiv definit. |
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Wir haben nur, dass jede reelle symmetrische Matrix diagonalisierbar ist und das es dann sogar eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren gibt. |
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Die Matrix besteht aus den Vektoren einer solchen Orthonormalbasis . Diese schreibt man als Spaltenvektoren nebeneinander und erhält so das von mir gemeinte . |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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