Binomialkoeffizient, binomischer Lehrsatz - Angabe

Hallo an alle!

Wir haben am Mittwoch den Binomialkoeffizienten bzw. den binomischen Lehrsatz durchgemacht und hab (denk ich) alles gut verstanden, was das Lösen anbelangt.. Jetzt sitz ich aber vor einem Bsp. und versteh die Angabe einfach nicht.. Ich hoffe, mir kann da jemand weiterhelfen:

"Berechnen Sie den Koeffizienten von ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}$ in den Entwicklungen (nach dem binomischen Lehrsatz) von:

a) ${\displaystyle \left({3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right){}^4}$

ok.. Also da gibs jetz mehrere Bsp. Ich hab nur das a aufgeschrieben, weils ja eh bei jedem dann gleich geht. Ich versteh einfach nicht was es mit den

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}$ auf sich hat. Die Formel um den Ausdruck ${\displaystyle \left({3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right){}^4}$ mithilfe des binomischen Lehrsatzes auszurechnen kenn ich, ich versteh nur das vorige nicht.. Kann mir das evtl jemand erklären? Wäre sehr dankbar dafür..

Liebe Grüße

Ok, also die Frage grade war glaub ich saublöd ^^.. Ich stand wegen dem k auf der Leitung. Ich hab das Bsp jetzt gelöst und wollte fragen, ob vl ijemand Zeit und Lust hat, mir zu sagen, ob die Lösung von ${\displaystyle {255\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{10}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{20}}$ richtig ist? Und ist in dieser Lösung 255 mein "k"?

Wär wirklich super, hab nämlich keine Lösungen und kann so nicht kontrollieren, ob ich alles richtig hab..

Liebe Grüße

Ja, also die Formel hab ich auch angewendet..

Das Bsp. lautet ja $(3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2){}^4$ .. Auf die Formel angewandt sieht das also so aus:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^4\left(\begin{array}{c}4\\ \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right){\left(3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{4-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{}^2\right)}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

oder?

Dann die $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)$ ausrechnen, wobei 1 und 5 gleich sind und 2 und 4 gleich sind. Dabei kommt also raus: 1,4,6,4,1

und das hab ich dann eingesetzt:

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right){\left(3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{4-0}{\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{}^2\right)}^0}$ + ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right){\left(3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{4-1}{\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{}^2\right)}^1}$ + ....... usw.. = 1.${\displaystyle {\left(3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^4{\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{}^2\right)}^0}$ + 4. ${\displaystyle {\left(3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^3{\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{}^2\right)}^1}$ + ............ usw.

Auf alle 5 dann angewendet hat das bei mir die Lösung ergeben.. Ist der Rechenweg denn wen. richtig oder ist alles falsch?

Wäre für deine Hilfe sehr dankbar..

Achso, ich glaub ich hab da was falsch.. Bedeutet also der Koeffizient vor ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}$ ist nur dieser kleine Teil und nicht alles zusammen addiert?

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right){\left(3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{4?2}{\left({\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\right)}^2=6?3^2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4=54{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace><mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}$

Wie schon gesagt, hatte Probleme mit der Angabe.. Das macht dann alles natürlich anders...

Wir haben auf der Uni nämlich ein anderes Bsp gerechnet, wo wir wirklich jeden Binomialkoeffizienten durchgegangen sind und alles addiert haben..

Wenn die Angabe jedoch lauten würde: "Entwickeln Sie die folgenden Ausdrücke nach binomischen Lehrsatz" und dann käme dieses Bsp wäre ${81\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+{108\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{54\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{2{}^{}}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+{12\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^6+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^8$ das aber Lösung oder?

Vielen Dank für deine Hilfe!!!!!!!!

ja ich hab schon mitbekommen, dass mein addieren sowas von falsch war ^^.. sry, dass sich dir dabei die Haare gesträubt haben, im Nachhinein denk ich mir auch wie blöd ich war ^^..

Aber immerhin weiß ich jetzt was der Unterschiede zwischen:

"Berechnen Sie den Koeffizienten von x^2 y^4 in den Entwicklungen (nach binomischen Lehrsatz) von:"

und

"Entwickeln Sie die folgenden Ausdrücke nach dem binomischen Lehrsatz"

ist. ^^

Vielen Dank nochmal!