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Binomialkoeffizienten addieren

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Additionstheorem, Binomialkoeffizient

E-Techniker aktiv_icon

17:49 Uhr, 15.10.2009

Hallo zusammen,

bei folgender Aufgabe fehlt mir (wie so häufig) der Ansatz. Und wenn ich irgendeinen Ansatz finde, komme ich nur auf Ergebnisse, die mich verzweifeln lassen. Ich habe keinen Plan mehr, wie ich folgende Aufgabe angehen soll und bitte um eure Hilfe!

Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen

n

und

k

gilt:

(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n + 1 \\ 1 \end{matrix}) + ... + (\begin{matrix} n + k \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + k + 1 \\ k \end{matrix})

Ich habe schon folgendes versucht: Die linke Seite der Gleichung verleitet ja geradezu dazu, den Teil als Summe zusammenzufassen. Doch irgendwie scheint das zu nichts zu führen, da ich nicht wüsste, wie ich mit dem

k

da drin eine vollständige Induktion durchführen sollte.

Ich habe auch schon versucht, die Definitionen der Binomialkoeffizienten irgendwie aufzuschreiben und gleichzusetzen, doch das möchte ich lieber nicht hier posten - denn da kommt nur Blödsinn heraus.

Hilfe!!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

g-zen aktiv_icon

17:58 Uhr, 15.10.2009

Schau mal auf diesen Link. Da finden sich einige Beweise zum Binomialkoeffizienten. Vielleicht hilft dir das weiter...

http://www.skytower.org/~ernsttremel/index.htm

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18:34 Uhr, 15.10.2009

Da steht eine Menge auf der Seite, aber ich bin nicht in der Lage das irgendwie auf diese Aufgabe zu übertragen. Ich bräuchte einmal einen kompletten, verständlichen Weg - damit ich auch in Zukunft weiss, wie solche Aufgaben anzugehen sind.

g-zen aktiv_icon

02:17 Uhr, 16.10.2009

ich versuche es mal:

Der Gedanke mit der vollständigen Induktion war schon mal gut. Also prüfe ich zunächst für

k = 1

und stelle fest:

n + 2 = n + 2

stimmt.

Dann kommt der Induktionsschluss:

A (n) \to A (n + 1) :

\sum_{i = 0}^{k + 1} (\begin{matrix} n + i \\ i \end{matrix}) = \sum_{i = 0}^{k} (\begin{matrix} n + i \\ i \end{matrix}) + (\begin{matrix} n + k + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + 1 + k \\ k \end{matrix}) + (\begin{matrix} n + k + 1 \\ k + 1 \end{matrix})

(laut Induktionsannahme)

jetzt verwende ich die Folgende Summenregel für Binomialkoeffizienten:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix})

Den Beweis dazu findest du hier:
http//mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung24/

(\begin{matrix} n + 1 + k \\ k \end{matrix}) + (\begin{matrix} n + k + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + (k + 1) + 1 \\ k + 1 \end{matrix})

qed

Wie solche Aufgaben allgemein anzugehen sind, ist abgesehen von dem Tipp der vollständigen Induktion meines Wissens nicht allgemein zu beantworten. Die Umformungen, die dazu führen, Die Induktionsannahme zu isolieren und den Rest möglichst praktisch zu einer Lösung umzuformen, sind manchmal nicht einfach zu sehen. Wenn die Lösung bekannt ist, helfe mir meist damit, von beiden Seiten aus zu übelegen. Aber vielleicht kann dir einer der anderen Helfer dazu noch einen besseren Rat geben.

E-Techniker aktiv_icon

11:05 Uhr, 17.10.2009

Das hab ich verstanden ;-) Vielen Dank für deine Hilfe!!

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