Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Bode plot

Bode plot

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

TermX aktiv_icon

18:05 Uhr, 07.05.2017

Hallo,

ich möchte gerne den Betrag und die Phase folgender Funktion ermitteln um das Ganze dann in ein Bode Diagramm einzeichnen zu können:

G = \frac{0,5}{s} \cdot e^{- 0,5 s}

Mit

s = i ω

G = \frac{0,5}{i ω} \cdot e^{- 0,5 i ω}

1. Wie würdet ihr das machen?
Ich habe mir überlegt das

\frac{1}{i ω} = \frac{1}{ω} \cdot e^{i \frac{3}{2} π}

zu schreiben.
Dann komme ich auf

G = \frac{0,5}{ω} \cdot e^{i \cdot (\frac{3}{2} π - 0,5 ω)}

Davon wäre das

\frac{0,5}{ω}

der betarg und das hinter dem

i

im Exponent die Phase.
Wäre das richtig?
2. Warum kann mir Wolfra Alpha dazu kein Bode Diagramm zeichnen?

Roman-22

18:44 Uhr, 07.05.2017

>

Wäre das richtig?
Ja, ist aber eine sehr eigentümliche Übertragungsfunktion!

TermX aktiv_icon

21:28 Uhr, 07.05.2017

Ok,
aber frage mich jetzt wie ich die berechneten Winkel in das gegebene Bode-Diagramm einzeichnen soll.
Der gegebene Bereich passt doch garnicht.

Roman-22

21:54 Uhr, 07.05.2017

Du sollst ja nicht von der Übertragungsfunktion

G_{P}

des Prozesses, sondern von jener des offenen Kreises

G_{o}

das Bode-Diagramm zeichnen, oder?

TermX aktiv_icon

21:57 Uhr, 07.05.2017

Ja, aber es gilt doch:

G_{0} = G_{P} \cdot G_{c}

Und damit komme ich auf

G_{0} = K \cdot \frac{0,5}{s} \cdot e^{- 0,5 s}

Oder mache ich da was falsch?

TermX aktiv_icon

22:09 Uhr, 07.05.2017

Aber irgend etwas stimmt da noch nciht.
Ich komme für Teil

e)

auf 27,3dB um das ich die Betragsfunktion nach oben verschieben muss.
Laut Lösung sollen es aber nur 10dB sein.

Roman-22

22:17 Uhr, 07.05.2017

Ja, ich fürchte auch, dass du doch von der falschen Übertragungsfunktion ausgehst, denn die von dir angegebene hätte eine Phasengang wie im Anhangbild.
Leider bin ich kein Regelungstechniker aber im Unterschied zu mir hast du ja vermutlich wenigstens passende Unterlagen, die die möglicherweise weiter helfen ;-)

TermX aktiv_icon

22:20 Uhr, 07.05.2017

Doch, das könnte vom Prinzip her schon passen.
Denn die Totzeitfunktion bewirkt, dass die Phasenverchiebung immer weiter zunimmt.
Also von 0 bis

- \infty

läuft und das zeigt ja auch dein Diagramm, oder?

TermX aktiv_icon

22:23 Uhr, 07.05.2017

Deine Zeichnung passt sogar genau.
Denn beim ersten erreichen von

- 135

(EDIT) Grad wäre es ungefahr bei einer Frequenz von

2 \cdot 10^{0}

.
Wenn du mein Bode-Diagramm für den Betrag anschuast wäre das bei ca. 10dB unterschied zur 0dB Linie. Genau so wie in der Musterlösung angegeben.

Jetzt ist nur die Frage, warum ich durch meine berechneten Winkel auf eine andere Phasenfunktion komme

Roman-22

22:38 Uhr, 07.05.2017

Das was du um

22 : 09

gepostet hast entspricht doch genau meinem Diagramm, oder?
Du hast ebenfalls bei

ω = 2 π

die Phase 90°, etc.
Nur geht mein Diagramm halt bis +180° rauf und euer Vordruck nur bis +90°. Das irritiert mich nun schon ein wenig, da das als Zeichen dafür gedeutet werden könnte, das Phasen in dem fehlenden Bereich nicht auftreten.

Deine Phasenfunktion ist aber mit

a r g (G_{o} (j ω)) = 3 \frac{π}{2} - \frac{ω}{2}

oder auch

= - \frac{π}{2} - \frac{ω}{2}

einfach eine lineare Funktion, die im Diagramm eben im Abstand

4 π

"springt" (von

- π

auf

+ π)

.
Siehe im Anhang das Diagramm ohne logarithmische Frequenzskalierung.

TermX aktiv_icon

22:48 Uhr, 07.05.2017

Du meinst mit der Phasenfunktion schon die von mir mit Bleistift gezeichnete?
Das Problem daran ist halt, dass laut meiner Funktion die Winkelverschiebung bei

ω = 0

folgendnen Wert hat:

\frac{3}{2} π

Damit ich aber auf die Lösung der Musterlösung komme müsste sie bei

- π

beginnen.
Du hast ja beide Funktionen genannt, aber wie kommst du auf die die bei

- π

beginnt?

Roman-22

22:55 Uhr, 07.05.2017

Ich hab nirgendwo eine, die bei

- π

beginnt!
Sie "beginnt" nicht bei

- π,

sondern bei

- \frac{π}{2}

(-90°).

Das ist doch das gleiche wie deine

\frac{3 π}{2}

(270°).

Das meinte ich oben damit, dass

a r g (...) = 3 \frac{π}{2} - \frac{ω}{2}

oder auch

a r g (...) = - \frac{π}{2} - \frac{ω}{2}

möglich ist. Je nachdem für welchen Winkelbereich ihr euch entschieden habt. Und sobald man das vereinbarte Intervall der Länge

2 π

(360°) verlässt, "springt" die Kurve.

TermX aktiv_icon

23:04 Uhr, 07.05.2017

Achso ja, ich meinte ntürlich 90Grad, sry.

Aber so ganz klar ist mir das mit den 2 möglichen Anfangswinkeln noch nicht.
Ich meine es macht doch einen Unterschied ob die Phasenverschiebung beim Start -90° oder 270° ist.
Achso, jetzt weiß ich was du meinst. Es ist ja egal ob ich den Zeiger um

270

Grad gegen den Uhrzeigersinn, oder

90

Grad mit dem Uhrzeigersinn drehe.

Aber in der Praxis entscheidet das ja ob die betrachtete Größe vor oder nachläuft. Und die 270° ergeben hier wie wir festgestellt haben ja eine falsche Lösung.
Wie soll ich das also wissen?

Für einen Winkelbereich haben wir uns nicht entschieden. Ich habe auch nur die Informationen gegeben, die im Aufgabenblatt stehen.

Roman-22

23:16 Uhr, 07.05.2017

>

Und die 270° ergeben hier wie wir festgestellt haben ja eine falsche Lösung.
Inwiefern ist da was falsch?

Der Bereich -180^circ<phi<=+180^\circ ergibt sich durch die übliche Definition der arg-Funktion für komplexe Zahlen.
Es spricht aber überhaupt nichts dagegen, den Phasengang im Bodediagramm für den Bereich

[0^{\circ}; 360^{\circ})

abzubilden. Vor allem dann, wenn man damit Sprünge vermeiden kann. Wird

φ

dann kleiner als

0,

dann springen wir eben rauf auf 360° und umgekehrt, so wie wir jetzt eben die Sprünge bei +-180° haben.

Wenns gerade passt wird man

u . U

. auch einen Bereich, der 360° übersteigt wie etwas im Bsp 4 auf der Seite

\to

lpsa.swarthmore.edu/Bode/BodeExamples.html

TermX aktiv_icon

23:25 Uhr, 07.05.2017

Das scheint mir falsch, da wir dafür eine falsche benötigte Verstärung raus bekommen.

D . h

. es macht hier einen Unterschied bei welchem

ω

die Phasenlage -135° ist.
Denn dann bekommen wir andere zugehörige Beträge. (vgl. unteres Bild).

Aber wenn du sagst, dass die übliche Definition -180° bis +180° ist, dann müsste man sich hier vermutlich daran halten. Denn dann kommen wir auf die richtige Verstärkung von 10dB.

Roman-22

23:30 Uhr, 07.05.2017

> D . h

. es macht hier einen Unterschied bei welchem ω die Phasenlage -135° ist.
Nein! macht es nicht. Die -135° stellen sich immer für das gleiche

ω

ein.
Nur wenn ich zB den Bereich

[0; 2 π)

darstelle, muss ich eben bei +225° nachsehen.

Aber es ist durchaus möglich, dass in der Aufgabe noch der Wurm drin ist. Schau dir vl in dem Link, den ich oben noch ergänzt habe die letzte Aufgabe an. Da ist auch eine Zeitverzögerung im Spiel.
Ich muss jetzt hier für heute Schluss machen.
Viel Erfolg!

TermX aktiv_icon

23:32 Uhr, 07.05.2017

Ok, dann vielen Dank bisher ;-)
Ich schaue es mir nochmal in Ruhe an.

TermX aktiv_icon

23:45 Uhr, 07.05.2017

Also, du sagst wenn ich die Phasenformel:

\frac{3}{2} \cdot π - 0,5 ω

wähle, dann muss ich bei 225° nachsehen. Wenn ich das mache würde ich auch auf eine Verstärkung von 10dB kommen, die Lösung wäre also wieder richtig.

Einziges Problem:
Ich verstehe noch nciht ganz wie ich nun da drauf kommen soll, dass ich bei 225° schaue.
Sicher, -135+360=225°.
Aber ich könnte ja doch auch genausogut sagen ich muss bei der Formel

\frac{3}{2} \cdot π - 0,5 ω

bei -135° schauen und bei der Formel

- \frac{1}{2} \cdot π - 0,5 ω

bei 225°.
Achso, das geht nicht, da die Formel

\frac{1}{2} \cdot π - 0,5 ω

ja nur für den Bereich

- 180

bis

+ 180

gilt. Genauso gilt die Formel

\frac{3}{2} \cdot π - 0,5 ω

nur für den Bereich 0 bis

360

Grad.

Ich muss also bedenken.
Wenn ich mich für

\frac{3}{2} \cdot π - 0,5 ω

entscheide sind nur Winkel zwischen 0 und 360° zulässig.
Wenn ich mich für

- \frac{1}{2} \cdot π - 0,5 ω

entscheide sind nur Winkel zwischen

- 180

und 180° zulässig.

Wäre das ansatzweise richtig?

Roman-22

00:37 Uhr, 08.05.2017

OK, hab nochmal reingeschaut.

Die Frage nach der Frequenz

ω

für die

φ = - 135^{\circ}

ist ist nicht eindeutig. Auch dann, wenn man im Bereich

(- π; π]

bleibt, gibts ja erst recht (durch die Sprünge) mehrere Werte für

ω,

die die Forderungen erfüllen. Alle im Abstand

4 π

.
Es wäre höchsten sinnvoll, nach dem ersten Wert zu fragen.

Ich hab dir im Anhang mal den Phasengang (einmal linear, einmal in logarithmischer Frequenzskalierung) geplottet. ALLE diese Kurven wären ein gültiger Phasengang. Sie unterscheiden sich alle in vertikaler Richtung um

2 π

.
Und ALLE liefern zum ersten Mal (siehe senkrechte rote punktierte Linie) bei

ω = \frac{π}{2}

die Phase -135° oder eben ein gleichwertiges, um ein ganzzahliges Vielfaches von 360° verschiedenes, Pendent (die waagrechten roten Linien). Ob das nun 225° ist oder -855° oder 945°.

Die blau eingezeichnete Linie entspricht deinem

φ = \frac{3 π}{2} - \frac{ω}{2}

und die grün eingezeichnete "meinem"

φ = - \frac{π}{2} - \frac{ω}{2}

.

Du solltest nun in deinen Unterlagen nachschlagen, ob ihr für den Phasengang irgendwelche Vereinbarungen getroffen habt, die den Winkelbereich oder vielleicht den Wert für die Anfangsphase bei

ω = 0

eindeutig festlegen.
Wenn ihr da zB für die Anfangsphase den Bereich

(- π; π]

festgelegt habt, was ja auch der Definition bei komplexen Zahlen entspricht, dann ist

ω = \frac{π}{2}

tatsächlich eindeutig, wenn man die Kurven nicht (so wie ich das in den vorherigen Grafiken gemacht habe) "springen" lässt. Die grüne Gerade hat genau einmal den Funktionswert phi=-135° und zwar bei

ω = \frac{π}{2}

.

EDIT: Hab noch einen Plot angehängt, in dem in hellgrün die vorhin gezeigte, zwischen -180° und +180° pendelnde Phasenlinie eingetragen ist.
Man sieht schön, wie man immer wieder auf eine der anderen Kurven hüpft, die halt gerade im gewünschten Bereich ist.

TermX aktiv_icon

08:58 Uhr, 08.05.2017

Ok, danke nochmal.

Habe nochml in den Unerlagen geschaut. Dabei habe keine Anmerkung gefunden welcher Winkelbereich betrachtet wird. Aber aufgefallen ist mir, dass in allen Diagrammen vom Winkel -180° ausgegangen wird. Dann liegt die Vermutung nahe, dass der Bereich -180° bis 180° gewählt wurde.
Zudem war unser Vorgehen auch immer zu schauen, ob die Phasenverschiebung größer ist als -180°.
Und du sagst ja auch das ist bei den komplexen Zahlen eigentlich auch so definiert.

Werde das jetzt nochmal in Ruhe überarbeiten, nohmals danke.

Ich lasse das Thema mal noch offen, falls mir noch etwas einfällt.

Roman-22

09:44 Uhr, 08.05.2017

>

das ist bei den komplexen Zahlen eigentlich auch so definiert.

Naja, streng definiert ist es eigentlich nicht, aber der Bereich

\pm 180^{\circ}

ist durchaus üblich. Aber es gibt auch andere Konventionen, die deswegen nicht weniger richtig sind.

TermX aktiv_icon

09:57 Uhr, 08.05.2017

Ich glaube ich habe jetzt die Erklärung.

Die Lösung liegt darin, was die Übertragungsfunktion angeben soll.

G = \frac{X_{a}}{X_{e}}

Denn die gibt ja den Phasenverschiebung der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße an.

φ_{a} = φ_{G} + φ_{e}

Nehmen wir also mal an die Phasenverschiebung ist 10°. Dann läuft der Ausgang

X_{a}

dem Eingang

X_{e}

um 10° voraus. Das heißt der Ausgang müsste praktisch in die Zukunft schauen um zu wissen wie sich der Eingang verhalten wird.

Nehmen wir mal an die Phasenverschiebung ist -10°. Dann läuft der Ausgang

X_{a}

dem Eingang

X_{e}

um 10° hinterher. Das kann schon eher sein.

Roman-22

14:16 Uhr, 08.05.2017

Naja, eine Phasenverschiebung um +10° und eine um -10°, da ist schon ein Unterschied.
Aber hier gehts ja nicht um

+ φ

oder

. φ,

sondern um

φ

oder

φ + 360^{\circ},

also zB

- \frac{π}{2}

oder

\frac{3 π}{2}

.
Und eine Verschiebung von -10° ist

i . W

. gleichbedeutend mit einer Verschiebung um +350°.

Ich würde eher die -135° in der Angabe hinterfragen und sie als -135°+k*360° (whatever comes first) interpretieren.

TermX aktiv_icon

16:06 Uhr, 08.05.2017

Ok, das wäre auch eine Option.

Also die Phasen-Kurve einfach mal zeichnen und dann schauen für wechen Winkel
-135°+i*360° (mit

i = 0, \pm 1, \pm 2, ...)

ich zuerst einen Schnittpunkt mit der eingezeichneten Kurve (also das kleinste

ω)

erhalte.

Was ich gemeint habe ist folgendes:
Es macht physikalisch einen Unterschied ob die Phase zwischen Eingang und Ausgang -10° oder 350° ist. Denn einmal Läuft die Eingangsgröße und das andere mal die Ausgangsgröße voraus. Das letztere macht in der realen Welt aber keinen Sinn.

Roman-22

17:34 Uhr, 08.05.2017

Und wie interpretierst du dann einen Hochpass?
Es geht hier doch um bereits eingeschwungene Systeme und nicht um Einschaltvorgänge.

TermX aktiv_icon

18:15 Uhr, 08.05.2017

Ja, du hast Recht.
Und ich dachte ich hätte eine logische Erklärung gefunden

: (

TermX aktiv_icon

15:51 Uhr, 09.05.2017

Nochmals Danke für deine Hilfe.
Ich mache es jetzt mal so wie du gesagt hast.
Lasse das Thema aber mal noch offen, falls noch jemand eine Idee hat.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1369904

1369437

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?