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Bogenlänge einer Kurve berechnen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Bogenlänge, Bogenlänge einer Kurve

Kitzur aktiv_icon

21:02 Uhr, 05.05.2014

Hallo ich muss die Bogenlänge einer Kurve berechnen und komme bei 2 Aufgaben nicht weiter.

Die Bogenlänge wird ja berechnet durch:

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + ({f (x)}^{2}) d x}

(f

soll die erste Ableitung sein also f´)

Nun zu den Aufgaben die ich nicht rechnen kann:

a) f (x) = 2 x - 1

im Intervall I

[

0;2]

Dort ist mein Problem das ich das Intervall nicht einsetzen kann, da ich nach der Ableitung keinen

x

Wert mehr habe.

b) f (x) = \frac{1}{8} x^{4} + \frac{1}{4 x^{2}}

im Intervall I

[

1;3]

Dort verwirrt mich das

\frac{1}{4 x^{2}}

Vielen Dank im Vorraus für eure Lösungsvorschläge :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Eva88 aktiv_icon

21:06 Uhr, 05.05.2014

Erst quadrieren, dann ableiten.

Kitzur aktiv_icon

21:12 Uhr, 05.05.2014

Das Problem ist aber bei

a)

das ist keinen

x

Wert mehr habe

und bei

b)

das ich nicht weiß wie

\frac{1}{4 x 2}

zu quadrieren ist.

Eva88 aktiv_icon

21:15 Uhr, 05.05.2014

Erst quadrieren, dann ableiten.

quadriere mal

2 x - 1

und leite dann ab.

Respon

21:21 Uhr, 05.05.2014

Bogenlänge

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f' (x)]}^{2}} d x

f (x) = 2 \cdot x - 1 \Rightarrow f' (x) = 2

\Rightarrow L = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 2^{2}} d x = \int_{0}^{2} \sqrt{5} d x = . .

.

oder

f' (x) = 2 \cdot x - 1

???

Kitzur aktiv_icon

21:32 Uhr, 05.05.2014

Ich hab mal

a)

versucht mit erst quadrieren, dann ableiten. Stimmt meine Rechnung ?

@Respon

f (x)

ohne erste Ableitung

Respon

21:41 Uhr, 05.05.2014

Also wenn

f (x) = 2 \cdot x - 1

unsere Ausgangsfunktion ist ( Gerade

),

dann ist

f' (x) = 2

L = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 2^{2}} d x = \int_{0}^{2} \sqrt{5} d x = \sqrt{5} \cdot x |_{0}^{2} = 2 \cdot \sqrt{5} = 4,47

Kitzur aktiv_icon

21:47 Uhr, 05.05.2014

Danke Respon für deine Antwort. So war auch mein erster Lösungsansatz. Erst Ableiten und denn Quadrieren. Mich hat das nur mit dem Intervall gewundert, da ich weder die

2,

noch die 0 irgendwo eintragen kann.

Könntest du mir auch den Rechenweg für

b)

zeigen?

Respon

21:50 Uhr, 05.05.2014

Ist

f (x) = \frac{1}{8} \cdot x^{4} + \frac{1}{4 \cdot x^{2}}

wirklich die Ausgangsfunktion ( also mit

4 \cdot x^{2}

im Nenner ) ?

Kitzur aktiv_icon

21:53 Uhr, 05.05.2014

Ja das ist sie.

Respon

21:57 Uhr, 05.05.2014

Dann führt das zu einem Integral, das man vermutlich mit "traditionellen" Methoden nicht berechnen kann.
Bilde einmal die Ableitung

f' (x)

und dann

{[f' (x)]}^{2}

Kitzur aktiv_icon

22:06 Uhr, 05.05.2014

Also ist nun die richtige Form erst ableiten und denn in die Formel einsetzen und dadurch quadrieren.

b)

müsste doch genau so gehen wie

a)

außer das

a)

eine Gerade ist?

Bist du dir bei deiner Antwort auf

a)

sicher?

Respon

22:15 Uhr, 05.05.2014

Siehe dazu Mathepedia ( die Endformel ist weiter unten )
http//www.mathepedia.de/Bogenlaenge_Anwendungen.aspx

Also zuerst ableiten, dann quadrieren. Oder anders gesagt: die Ableitung wird quadriert.

Du kannst beim ersten Beispiel ja eine Überprüfung mit der Länge der Strecke zwischen zwei Punkten machen.

P_{1} (0 | - 1)

P_{2} (2 | 3)

L = d = \sqrt{{(0 - 2)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2}} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2 \cdot \sqrt{5} = . .

Kitzur aktiv_icon

22:18 Uhr, 05.05.2014

Okay vielen Dank für deine Antworten. Haben wir die Formel nicht gerade aber in a auch schon angewendet, die im Link steht?

Also weißt du auch keine Lösung direkt zu

b)

Respon

22:23 Uhr, 05.05.2014

Wie ich schon sagte, mit herkömmliche Methoden läßt sich das Integral nur schwer berechnen.
Siehe das Ergebnis bei "Wolfram"
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%281%2B%28%28x^6-1%29%2F%282+x^3%29%29^2%29^%281%2F2%29

Es könnte aber auch ein Angabenfehler sein.

Kitzur aktiv_icon

22:31 Uhr, 05.05.2014

Kannst du vielleicht die Bogenlänge für eine der Aufgaben berechnen?

a) f (x) = \sqrt{x^{3}}

[

0;4]

b) f (x) = \frac{\sqrt{x} \cdot (4 x - 3)}{6}

[

0;9]

Alle anderen Aufgaben habe ich bereits berechnet.

Respon

22:38 Uhr, 05.05.2014

Also wenn es wirklich um die Bogenlänge geht, dann haben wir das gleiche Problem.
Versuche die besagte Formel anzuwenden. Du kommst auf ein eher unmögliches Integral.
Anders wäre es, wenn die eingeschlossene Fläche oder das Volumen des Rotationskörpers berechnet werden soll.

( Für die numerische Berechnung : www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=c294ae34401cdab1ff1f3daf47ec7fc2 )

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