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Bogenlänge mit Integral, Beispielaufgaben?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Aufgabe, gymnasium, Oberstufe, Präsentation, Schule

Jucaso aktiv_icon

18:59 Uhr, 03.11.2015

Hi,
ich soll am Freitag eine Präsentationsleistung zum Thema: "Bogenlänge- Wie lässt sich mit Hilfe des Integrals die Länge eines Kurvenstücks berechnen?", halten.
Den Großteil habe ich schon (Herleitung, Einleitung, Nutzen etc.), mir fehlen jedoch noch zwei gute Beispiele, an denen ich das Verfahren vorführen kann. Ich habe mir vorgestellt eine sehr simple Funktion zu nehmen und die Formel an dieser nur kurz anzuwenden, um ein erstes Beispiel zu geben. Danach bräuchte ich jedoch eine komplexere Aufgabe. Perfekt wäre eine Aufgabe mit Text und der Funktionsgleichung. Gut wäre zum Beispiel eine Aufgabe zur Berechnung der Kabellänge einer Brücke, einer Straße oder etwas in der Art.

Ich habe im Netz leider noch keine guten Aufgaben gefunden, wäre also sehr dankbar wenn mir jemand behilflich sein könnte.

Vielen Dank im Vorraus, Jucaso

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Christian- aktiv_icon

19:29 Uhr, 03.11.2015

Würde ein mathematisches Pendel dort helfen?

Jucaso aktiv_icon

22:03 Uhr, 03.11.2015

Das sagt mir ehrlich gesagt nichts. Ich suche eine simple und eine komplexe funktion, die ich berechnen kann. Eine davon (die schwere) am besten anhand eines realen Beispiels.
LG

Roman-22

10:38 Uhr, 04.11.2015

Klassische Beispiele zu dem Thema sind ja die Bogenlänge der Kettenlinie

x = a \cdot cosh (x (a)

oder der Astroide

x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1,

wobei man für Letztere am günstigsten die Parametrisierung

x (t) = {cos}^{3} t

und

y (t) = {sin}^{3} t

wählt.
Auch die Bogenlänge einer Zykloide ist eine beliebte Aufgabe

(x (t) = a \cdot (t - sin t); y (t) = a \cdot (1 - cos t))

.
Wenn du eine Aufgabe für die Berechnung der Bogenlänge einer in Polardarstellung gegebenen Kurve suchst, bietet sich vielleicht die Kardioide

r (φ) = 1 + cos (φ)

an.

Aber das sind alles Standardaufgaben und ich kann mir kaum vorstellen, dass du da bei deinen Recherchen noch nicht auch selbst darauf gestoßen bist. Was Textaufgaben anlangt, so würde ich an deiner Stelle naheliegende Bibliotheken nach Schulbüchern absuchen, denn dort finden sich meist eine Fülle von pseudoanwendungorientierten Aufgaben in meist recht verkrampfter textlicher Einkleidung.
Für die oben erwähnte Zykloide hab ich einmal die Einkleidung gefunden, dass es die Bahn des Ventils eines Autoreifens sei - hmm. Dass es eher unüblich ist, dass diese Ventil ständig auf die Fahrbahn aufschlägt blieb ebenso unerwähnt wie die im Raum stehende Frage, warum die Länge der Ventilbahn in der Praxis überhaupt interessieren sollte.
Anwendungen aus der echten Praxis würde ich aber trotzdem aus Komplexitätsgründen meiden ;-)

Eine mögliche Einkleidung für die Kettenlinie wäre, wenn du angibst, dass ein durchhängendes Seil an zwei Punkten befestigt ist. Du kennst die Höhe der Aufhängepunkte und ihren Abstand voneinander und auch die Höhe der tiefsten Stelle des Seiles. Jetzt ist eben zu berechnen, wie lang das Seil ist. Als Einkleidung kannst du dir zB eine Hochspannungsleitung wählen, bei die Höhen und Abstände der Masten vorgegeben sind und dann erfindest du noch einen gesetzlich vorgeschrieben Mindestabstand zum Boden und fragst, wie lang das Kabel höchstes sein darf.
Oder du lässt dir etwas zum Seil eines Zirkusakrobaten einfallen,

...

.

Lass deiner Kreativität freien Lauf - das kommt bei der Präsentation sicher auch gut an ;-)

Hier noch ein Link, den ich auf die Schnelle gefunden habe - weil du ja etwas von eine Brücke geschrieben hast:
www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/berechnung-der-bogenlaenge

R

Jucaso aktiv_icon

20:13 Uhr, 04.11.2015

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, Roman.
Angenommen ich nehme die Aufgabe mit den Hochspannungsleitungen, die angenähert als Kettenlinie beschrieben werden können, wie ergibt sich die Formel und die Ableitung dazu? Ich habe noch diese Seite gefunden, die Aufgabe würde ich gerne übernehmen, kann sie nur leider wieder nicht ganz nachvollziehen (Tut mir leid aber ich habe echt Probleme mit Mathe). Es geht um diese Aufgabe

(b)) :

gfs.khmeyberg.de/Materialien/IIMathematik/KettenlinieBogenlaengeNaeherungskurve.pdf . Da die normale Formel der Kettenlinie ja

cosh = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})

ist, verstehe ich nicht wie man auf

cosh = 50 \cdot (e^{\frac{x}{100}} \cdot e^{- \frac{x}{100}})

kommt? Woher kommen die

100

und die

50,

die

50

sind ja wahrscheinlich einfach

\frac{1}{2} \cdot 100

aber wieso

100

? Auch die Ableitung ist extrem lang, kann man das noch verkürzen?

Ich weiss ich verlange viel von euch, bin mittlerweile aber wirklich verzweifelt (Präsentation am Fr.). Wenn mir jemand helfen könnte wäre ich unglaublich dankbar!

LG, Jucaso

Roman-22

00:23 Uhr, 05.11.2015

>

Da die normale Formel der Kettenlinie ja cosh=12⋅(ex+e−x) ist
Nein, die allgemeine Form einer Kettenlinie, die zur y-Achse symmetrisch liegt und durch den Punkt

(0 | a)

läuft, ist

y = a \cdot cosh (\frac{x}{a}) = \frac{a}{2} \cdot (e^{a x} + e^{- a x})

Und hier wurde in der Angabe eben

a = 100

vorgegeben.

Das a bestimmt also im Wesentlichen die Form der Kurve (breit, schmal). Wenn die Kettenlinie dann noch herum geschoben werden soll, wird die Gleichung zu

y = a \cdot cosh (\frac{x - x_{0}}{a}) + y_{0}

(wie beim Verschieben jeder anderen Funktion ersetzt man also

x

durch

x - x_{0}

und

y

durch

y - y_{0})

.

Und was die ach so lange Ableitung anlangt - ja, die kannst du verkürzen. Geh nicht auf die Definition mit den e-Funktionen zurück, sondern setze einfach voraus, dass man weiß, dass die Ableitung von

cosh (x)

eben

sinh (x)

ist. Demnach ist dann nach der Kettenregel die Ableitung von

a \cdot cosh (\frac{x}{a})

einfach

sinh (\frac{x}{a})

.
und auch bei dem Integral kannst du dir Arbeit ersparen, wenn du

1 + {sinh}^{2} x = {cosh}^{2} x

als bekannt voraussetzt. Dann löst sich die Wurzel sofort in Wohlgefallen auf.

\to

teacher.eduhi.at/alindner/Sites/Artikel/Kettenlinie-Arikel.pdf

\to

de.wikipedia.org/wiki/Kettenlinie_%28Mathematik%29

\to

blog.wurzt.de/wp-content/uploads/2008/01/kettenlinie.pdf

\to

www.ti-unterrichtsmaterialien.net/imgserv.php?id=ch_Schneebeli_Roser_212.pdf

\to

www.tu-braunschweig.de/Medien-DB/icm/themen.pdf

\to

www.herder-oberschule.de/madincea/aufg1213/kettenli.pdf

\to

duckduckgo.com/?q=kettenlinie+cosh

R

P . S . :

Interessanter ist ja vielleicht die umgekehrte Fragestellung - gegeben ist die Kabellänge und gefragt ist, wie stark der Durchhang ist (bei gegebenem Mastabstand und Masthöhe). Mit entsprechender CAS Unterstützung vielleicht auch machbar und nicht ganz so "08/15".
Da die Gleichung

l = 2 a \cdot sinh (\frac{d}{2 a})

aber nicht exakt nach a auflösbar ist, wird man eben einen TR mit numerischem Näherungslösen oder ein ausgewachseners CAS heranziehen müssen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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