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Booleschen Ring

Universität / Fachhochschule

Tags: kommutativer Ring, Potenzmenge, Ring, symmetrische Differenz

blehhh

11:53 Uhr, 17.11.2022

Folgendes Problem:

Definiere für zwei Mengen

X, Y

die symmetrische Differenz

X Δ Y := (X \ Y) \cup (Y \ X)

.
Sei

M

eine nichtleere Menge. Zeigen Sie, dass

(P (M), Δ, \cap)

ein kommutativer Ring mit Eins ist.
Es handelt sich um einen Booleschen Ring, in dem jedes Element a idempotent ist,

d . h

a^{2} = a

erfüllt.

Um Ringe generell zu beweisen muss ich ja zeigen, dass

(P (M), Δ)

eine kommutative Gruppe ist. Das mache ich indem ich die Assoziativität von

Δ,

das Inverse Element bzgl.

Δ,

das neutrale Element bzgl.

Δ

und die Kommutativität von

Δ

beweise.
Danach muss ich (um zu zeigen, dass es ein Ring ist) noch die Assoziativität von

\cap

und die Gültigkeit der Distributivgesetze beweisen.
Und um zu beweisen, dass es ein kommutativer Ring mit Eins ist, muss ich noch die Kommutativität von

\cap

und das Eins-Element zeigen.
Theorie schön und gut, aber leider habe ich keine Ahnung wie ich dieses Wissen jetzt am besten in die Praxis umsetzen kann/soll.
Vielen Dank schonmal für mögliche Denkanstöße und/oder Hilfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Punov aktiv_icon

13:03 Uhr, 17.11.2022

Hallo!

Wenn du es so kleinteilig wie möglich notierst, musst du Folgendes zeigen.

1.

P (M)

ist eine abelsche Gruppe bzgl. der symmetrischen Differenz, d.h.

1.1

Δ

ist assoziativ
1.2

Δ

ist kommutativ
1.3 Existenz eines neutralen Elements bzgl.

Δ

1.4 Jedes Element hat ein inverses Element bzgl.

Δ

P (M)

ist ein Monoid bzgl. des Mengenschnitts, d.h.

2.1

\cap

ist assoziativ
2.2 Existenz eines neutralen Elements bzgl.

\cap

3. Der Mengenschnitt ist distributiv bzgl. der symmetrischen Differenz

Das kannst du jetzt Schritt für Schritt abarbeiten, d.h. um das Wissen in die Praxis umzusetzen, musst du "einfach" die Definitionen benutzen.

Zugegeben, einige der Punkte sind nicht gerade schön aufzuschreiben!

Einen Beweis zu 1.1. findest du zum Beispiel hier:
proofwiki.org/wiki/Symmetric_Difference_is_Associative#Sources

Daran kannst du gut sehen, wie du solche Aussagen beweist, nämlich indem du Rechenregeln für Mengenoperationen verwendest. Du kannst dich ja mal versuchen und dann kann man deine Versuch hier en detail besprechen.

Viele Grüße

blehhh

11:01 Uhr, 18.11.2022

Sorry für die verspätete Antwort.

Also bei

1.2

habe ich jetzt:

X Δ Y = (X \ Y) \cup (Y \ X)

= (Y \ X) \cup (X \ Y) | \cup

ist kommutativ

= Y Δ X

1.3

Wie kann ich das jetzt am besten mit dem neutralen Element zeigen?

e_{P (M)} = 1,

sei

a \in P (M)

mit

a^{2} = a

(Wegen dem Booleschen Ring), so ist... Hier stehe ich noch auf dem Schlauch.

1.4

Das gleiche Spiel hier. Ich bin noch verwirrt wie ich das zeigen kann.

Punov aktiv_icon

11:28 Uhr, 18.11.2022

Hallo, blehh,

zu 1.3: Gesucht ist eine Teilmenge

E \in P (M)

, sodass

A Δ E = E Δ A = A

für alle

A \in P (M)

. Das ist

E = \emptyset

, d.h. die leere Menge ist das neutrale Element bzgl. der symmetrischen Differenz.

Zu 1.4: Da du jetzt weißt, wie das neutrale Element bzgl. der symmetrischen Differenz aussieht, ist leicht zu sehen, dass

A Δ A = \emptyset = E

für jedes

A \in P (M)

. Mit anderen Worten, jedes

A

hat sich bzgl. der symmetrischen Differenz selbst als Inverse,

A^{- 1} = A

.

Viele Grüße

blehhh

12:01 Uhr, 18.11.2022

Okay vielen Dank.

Kann ich für

2.1

schreiben:

x \in X \cap (Y \cap Z) \Leftrightarrow x \in X \land x \in (Y \cap Z) \Leftrightarrow x \in X \land (x \in Y \land x \in Z)

sowie

x \in (X \cap Y) \cap Z \Leftrightarrow x \in (X \cap Y) \land x \in Z \Leftrightarrow (x \in X \land x \in Y) \land x \in Z

X \cap (Y \cap Z) \Leftrightarrow (X \cap Y) \cap Z

\Rightarrow

Assoziativität

Lässt sich weiterhin überhaupt ein neutrales Element bzgl.

\cap

finden?
Da

A \cap \emptyset = \emptyset,

kann die leere Menge hier nicht das neutrale Element sein. Oder verwechsle ich da was?

Für 3. würde ich dann die Gleichheit von

X \cap (Y Δ Z) = (X Δ Y) \cap Z

zeigen?

MfG

Punov aktiv_icon

14:25 Uhr, 18.11.2022

Hallo, blehhh,

Bei 2.1) meinst du, glaube ich, das Richtige:
Seien

A, B, C \in P (M)

, dann gilt

A \cap (B \cap C) = {x \in M : x \in A \land x \in (B \cap C)}

= {x \in M : x \in A \land x \in B \land x \in C}

= {x \in M : x \in (A \cap B) \land x \in C}

= (A \cap B) \cap C

2.2) Ja, es lässt sich ein neutrales Element

E

bzgl. des Mengenschnitts finden und die leere Menge ist es, wie du richtig sagst, nicht. Für jede Teilmenge

A \in P (M)

muss gelten

A \cap E = E \cap A = A

, insbesondere muss dies auch für

M

selbst gelten. Das erfüllt genau eine Menge, welche?

3)

Du musst Links- und Rechtsdistributivität zeigen, also

A \cap (B Δ C) = (A \cap B) Δ (A \cap C)

für alle

A, B, C \in P (M)

sowie

(B Δ C) \cap A = (B \cap A) Δ (C \cap A)

für alle

A, B, C \in P (M)

.

Viele Grüße

PS. Ich finde es übrigens bedauerlich, dass es hier keine Möglichkeit gibt, Gleichungen sauber untereinander zu schreiben, man könnte mal sowas wie

\begin{align}
...
\end{align}

implementieren.

blehhh

17:16 Uhr, 18.11.2022

2.2)

Jetzt bin ich minimal verwirrt. Wenn es

1, 0

und

\emptyset

nicht sein können... Gibt es noch andere neutrale Elemente? 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, 0 das der Addition und

\emptyset . .

. das der Mengeninklusionen?
Aber dann verstehe ich nicht, was hier als neutrales Element fungiert.

Der Rest ist mir jetzt klar und habe ich auch verstanden. Also schonmal vielen Dank für die Hilfe.

MfG

Punov aktiv_icon

17:23 Uhr, 18.11.2022

Hallo!

Hier sind

Δ

die Addition und

\cap

die Multiplikation. Das heißt, an sowas wie

1

oder

0

bei neutralen Elementen zu denken, macht hier keinen Sinn, es sei denn, es handelt sich dabei um Teilmengen von

M

.

(Vielleicht denkst du indirekt an Addition und Multiplikation bei reellen Zahlen oder so, aber das ist ein ganz anderer Kontext.)

Hier ist die leere Menge das neutrale Element für die Addition und die Menge

M

das neutrale Element für die Multiplikation, denn für alle

A \in P (M)

gilt

A \cap M = M \cap A = A

,

da

A \subseteq M

ja eine Teilmenge von

M

ist (entweder echte Teilmenge oder

A = M

).

Viele Grüße

blehhh

19:25 Uhr, 18.11.2022

Vielen Dank für die Hilfe!

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