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Borel-Algebra und Dynkin-System
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra
 
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Es sei ∈ und die Borel σ-Algebra über Zeigen Sie, dass fur α ∈ ∞) durch µ → ∞, µ(A) falls A abzählbar & µ(A) α, falls A nicht abzählbar ∈ kein Maß auf definiert ist. ii) Stimmt die Aussage in auch für α = ∞ ? Es sei (Ω, ein Messraum und µ → ∞ ein Maß auf (Ω, . Ferner sei ⊂ Ω | µ(A) ∈ ∪ ∞} } Überprüfen Sie, welche Eigenschaften (i)-(iii) eines Dynkin-Systems erfüllt sind. Hallo an alle Interessierten Helfer, bei obigen zwei Teilaufgaben bräuchte ich Hilfe. hier muss man ja die zwei Voraussetzungen für ein Maß nachrechnen, wobei man ja eine Fallunterscheidung machen muss, falls Omega (also hier ?!) abzählbar oder nicht abzählbar ist, oder? hierbei gilt dann doch, dass µ das Nullmaß ist, wenn abzählbar und die Abbildung ansonten wohldefiniert ist auf der Borel-Algebra und weiter gilt, dass die leere Menge abzählbar ist, wodurch gilt, dass µ Beim zweiten Schritt, dass die Vereinigung von nicht abzählbaren und abzählbaren Folgen wieder in der Borelalgebra liegen muss, müsste nun doch irgendwie ein Widerspruch kommen, allerdings weiß ich nicht, wie man das hier zeigen soll. ii) dementsprechend weiß ich auch nicht, wie das im Fall α = ∞ aussieht Hier muss man ja eigentlich nur die 3 Axiome nachrechnen, da ich dies für Dynkinsysteme aber noch nie gemacht habe, tue ich mich schwer damit. Vor allem die Existenz des Maßes in der Menge irritiert mich, und hier muss man doch auch wieder eine Fallunterscheidung vornehmen, oder irre ich? Auf jeden Fall muss Ω gelten, außerdem muss gelten und für eine . Folge muss die Vereinigung wieder in liegen, wie man das konkret hier zeigt will sich mir aber nicht erschließen. |
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"ai) hier muss man ja die zwei Voraussetzungen für ein Maß nachrechnen, wobei man ja eine Fallunterscheidung machen muss, falls Omega (also hier Bm ?!) abzählbar oder nicht abzählbar ist, oder?" ist nicht , denn ist die Grundmenge ( in diesem Fall) und ist die sigma-Algebra darauf (in diesem Fall Borel-Algebra). Beide sind gegeben und beide sind natürlich überabzählbar, also kannst du hier keine Fallunterscheidung machen. Die Fallunterscheidung ist, ob oder . Im ersten Fall kannst du einfach zwei disjunkte Intervalle nehmen und hast schon einen Widerspruch, denn z.B. . (Gut, in das ist ein eindimensionales Beispiel, in brauchst du dann Quader, aber die Idee ist dieselbe). Wenn , dann wird es wohl keinen Widerspruch geben. |
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"Vor allem die Existenz des Maßes in der Menge irritiert mich, und hier muss man doch auch wieder eine Fallunterscheidung vornehmen, oder irre ich?" Das ist doch kein Axiom eines Dynkin-Systems. Axiome sind 1. 2. 3. disjunkt aus => . Ob 1. erfüllt ist, kann man nicht sagen, denn es ist nicht gegeben, was ist. Dasselbe für 2., denn und ohne zu wissen, was ist, kann man nichts entscheiden. 3. ist erfullt, denn wenn alle natürliche Zahlen oder Unendlichkeit sind, dann kann auch nur eine natürliche Zahl oder Unendlichkeit sein. |
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Dein Beispiel bei ai) klingt einleuchtend, aber reicht dieses nicht sogar als Gegenbeispiel im da für ? Kann mir gerade nicht vorstellen, wie man das Beispiel auf das erweitert. bei aii) müsste dann doch gelten, dass es keinen Widerspruch gibt, da gilt: ∪ a für a=∞, oder? bei hatte ich die Axiome schon untendrunter geschrieben, die musst du wohl übersehen haben, aber nicht schlimm. Hier hatte ich mir nämlich die selbe Frage gestellt, aber ist die Aufgabe dann einfach unvollständig gestellt? Oder kann man irgendwie darüber argumentieren, dass µ(A) ∈ ∪ ∞}? |
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"Dein Beispiel bei ai) klingt einleuchtend, aber reicht dieses nicht sogar als Gegenbeispiel im Rm, da Rm=R für m=1? Kann mir gerade nicht vorstellen, wie man das Beispiel auf das Rm erweitert." Wie gesagt, nimm einfach zwei Quader, die sich nicht schneiden. Oder gar zwei Würfel. Z.B. und . "bei aii) müsste dann doch gelten, dass es keinen Widerspruch gibt, da gilt: a+a=a ∪ a für a=∞, oder?" Ja, ich denke auch so. "Hier hatte ich mir nämlich die selbe Frage gestellt, aber ist die Aufgabe dann einfach unvollständig gestellt?" Man könnte einfach sagen: wenn , dann ist es erfällt. Ansonsten nichts. |
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Ok, danke Dir Dann lasse ich die jetzt sein |
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