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Bruch ( anderes System) in Dezimalzahl umwandeln

Universität / Fachhochschule

Tags: anderes System, Bruch, Dezimalzahl

Jenny193 aktiv_icon

10:31 Uhr, 08.08.2014

Hallo Ihr Lieben !

In meiner Frage handelt es sich um die Umwandlung von Brüchen in eine Dezimalzahl.

Schön und gut - wir wissen alle, dass

z . B

\frac{11}{4} \to \frac{275}{100} (

mit

25

erweitert)

= 2,73

ist.

Ja gut soweit, aber wie ist es wenn man in anderen Systemen rechnet ?

Im 6er System zum Beispiel:

\frac{11}{4}

mein erster schritt wäre, wieviel mal passt denn die

4 (

im Nenner) in die

100

beim 6er System ?! -ganze 9 mal.
Die 9 wäre im 6er System die

13

.
Also würde ich nun

13 (

im Nenner) mit der

11

(im Zähler Multiplizieren) und erhalte das Ergebnis von

143

\to \frac{143}{100} = 1,43

Gäbe es eine einfachere Variante ? Stimmt mein Lösungsweg überhaupt ?
Hat jemand für mich paar Übungsaufgaben, die ich hier im Forum lösen könnte ?

Liebste Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

11:35 Uhr, 08.08.2014

Hallo,

der Lösungsweg und das Ergebnis stimmt. Besser geht es höchstens, wenn man bedenkt, dass man nicht unbedingt auf die

100

im Nenner kommen muss. Es genügt auf die 6 zu kommen und da muss man mit

{(1,5)}_{10}

multiplizieren, was im 6-er System ja

1,3

ist. Dann erhält man

{(\frac{11}{4})}_{6} = {(\frac{13 + 1,3}{10})}_{6} = {(\frac{14,3}{10})}_{6} = {(1,43)}_{6}

oder du rechnest einfach nach dem Dir bekannten Divisionsalgorithmus:

11 : 4 = 1,43

- 4

- -

30

- 24

- - -

20

- 20

- - -

0

Jenny193 aktiv_icon

11:43 Uhr, 08.08.2014

Danke für die Schnelle und äußerst hilfreiche Antwort !

Könntest du mir eventuell noch einen tipp geben wie man folgendes rechnet ?
Der periodische Dezimalzahl ( hier 7er System) soll in einen Bruch umgewandelt werden :

(3,562562)

ich hätte zu allererst diese Zahl in 10er System umgerechnet und käme auf

(3,004912919)

Bummerang

11:45 Uhr, 08.08.2014

Hallo,

der Bruch enthält zwei Mal "562" nach dem Komma. Ist der Bruch vieleicht periodisch?

Jenny193 aktiv_icon

11:46 Uhr, 08.08.2014

Genau - wie vorhin erwähnt handelt es sich hier um einen periodische Zahl :-)
Ich bin leider noch nicht mit der Schreibweise in diesem Forum vertraut.

Bummerang

11:53 Uhr, 08.08.2014

Hallo,

das macht man analog zum Verfahren mit Dezimalzahlen:

Dezimalzahlen:

3, \bar{03}

in Bruch

100 \cdot 3, \bar{03} = 303, \bar{03}

1 \cdot 3, \bar{03} = 3, \bar{03}

- - - - - - - - - -

(100 - 1) \cdot 3, \bar{03} = 303 - 3

99 \cdot 3, \bar{03} = 300

3, \bar{03} = \frac{300}{99} = \frac{100}{33}

7-er-System:

3, \bar{562}

in Bruch

1000 \cdot 3, \bar{562} = 3562, \bar{562}

1 \cdot 3, \bar{562} = 3, \bar{562}

- - - - - - - - - - - -

(1000 - 1) \cdot 3, \bar{562} = 3562 - 3

666 \cdot 3, \bar{562} = 3556

3, \bar{562} = \frac{3556}{666}

Eventuell ist da noch was zu kürzen, das suchst Du aber mal allein!

Jenny193 aktiv_icon

11:57 Uhr, 08.08.2014

Göttlich ! Lieben Dank :-)
Hast du vielleicht ein paar Übungsaufgaben, die ich dir als Lösung präsentieren kann um mich selber unter Beweis zu stellen ? :-)

Bummerang

12:01 Uhr, 08.08.2014

Hallo,

Nimm Dir einen Würfel und stelle Dir doch selbst Aufgaben zusammen, ganz zufällig und löse sie. Dann stelle Deine Ergebnisse hier zur Diskussion! Muster für solche Aufgaben hast Du ja anhand Deiner Aufgaben!

PS: Gleich eine Übung:

{(\frac{3556}{666})}_{7}

kann man noch kürzen! Finde den größten gemeinsamen Teiler! Berechne Zähler und Nenner durch das Divisionsverfahren mit dem ggT als Divisor!

EDIT: Vorsicht! Ich hatte einen Fehler, den ich bereits korrigiert habe. Im 7-er System ist natürlich

2562 - 3

nicht

3559

sondern

3556!

Jenny193 aktiv_icon

12:12 Uhr, 08.08.2014

im 7er System :

(\frac{3559}{666}) .

. zu Aller erst habe ich eine Primfaktorzerlegung durchgeführt.
Dabei ist mir aufgefallen das

3559

nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist =Primzahl.

666 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 37

also habe ich den Bruch in 10er umgerechnet und kam bei

3559

in 7er auf

1318

in 10er System
und bei

666

in 7er auf

342

in 10er System.
Diesen Bruch habe ich dann auf gemeinsame Teiler untersucht mit Hilfe der Primfaktorzerlegung. Wobei nur die 2 als Teiler identisch ist.
letztendlich habe ich den Bruch

\frac{659}{171}

raus.

Oder habe ich die Frage missverstanden ?

Bummerang

12:23 Uhr, 08.08.2014

Hallo,

zunächst mal der Hinweis, dass ich oben einen Fehler hatte, den ich beim Selbstkorrigieren gefunden und ausgebessert habe. Es sind

\frac{3556}{666},

im 7-er System gibt es keine "9"! Was ich meinte, Du sollst im 7-er System den größten gemeinsamen Teiler finden, um zu überprüfen, ob Du noch kürzen kannst. Dazu verwendet man am einfachsten den euklidischen Algorithmus:

ggT(3556,666)

Die

666

ist 3 Mal in

3556

enthalten und ergibt den Rest

3556 - 3 \cdot 666 = 3556 - 2664 = 562

ggT(3556,666) = ggT(666,562)

Die

562

ist 1 Mal in

666

enthalten und ergibt den Rest

666 - 1 \cdot 562 = 666 - 562 = 104

ggT(3556,666) = ggT(666,562) = ggT(562,104)

Die

104

ist 5 Mal in

562

enthalten und ergibt den Rest

562 - 5 \cdot 104 = 562 - 526 = 33

ggT(3556,666) = ggT(666,562) = ggT(562,104) = ggT(104,33)

Die

33

ist 2 Mal in

104

enthalten und ergibt den Rest

104 - 2 \cdot 33 = 104 - 66 = 5

ggT(3556,666) = ggT(666,562) = ggT(562,104) = ggT(104,33) = ggT(33,5)

Die 5 ist 4 Mal in

33

enthalten und ergibt den Rest

33 - 4 \cdot 5 = 33 - 26 = 4

ggT(3556,666) = ggT(666,562) = ggT(562,104) = ggT(104,33) = ggT(33,5) = ggT(5,4)

= 1

Beide Zahlen sind teilerfremd. Es kann nicht gekürzt werden. Mit der falschen

3559,

die es ja gar nicht gibt, aber wenn man wie Du die

{(1318)}_{10}

ermittelt hat, käme man mit diesem Algorithmus zum ggT=2 und könnte dividieren. Sorry, war mein Fehler.

Jenny193 aktiv_icon

12:33 Uhr, 08.08.2014

Stimmt, eindeutig. - Vielleicht war ein wenig Betriebsblindheit schuld.

Das Augenmerk sollte wirklich auf die Konzentration gelegt werden. Wenn man es einmal gerafft hat ist alles im grünen Bereich !

Ich Danke dir herzlich !

Jenny193 aktiv_icon

15:31 Uhr, 11.08.2014

Ahoi !

Ich habe bezüglich meiner Frage noch ein Anliegen .

Wie sieht es aus, wenn ich eine periodische Dezimalzahl habe und diese im Bruch umrechnen soll?
Soweit klar im Dezimalsystem :

3,562 562 (

Achtung Periode!) habe ich so gerechnet ..

1 \cdot 3,562 562 = .

1000 \cdot 3,562 562 = .

\to 999 \cdot 3,562 562 = 3559

3559 : 999 = \frac{3559}{999} ... . .

. okay soweit so gut. aber wie sieht es aus wenn es sich bei den Dezimalzahlen um Zahlen in einen anderen System handelt ?

z . B

3,5 6262

in 7er System ?

Liebste Grüße

oculus aktiv_icon

17:34 Uhr, 11.08.2014

Hallo,

{[3, \bar{56262}]}_{7} = 3 + \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{5}{7^{5 n + 1}} + \frac{6}{7^{5 n + 2}} + \frac{2}{7^{5 n + 3}} + \frac{6}{7^{5 n + 4}} + \frac{2}{7^{5 n + 5}}) = 3 + \frac{4735}{5602}

Und jetzt musst du nur noch

3 + \frac{4735}{5602}

in eine Dezimalzahl umrechnen, indem du den Zähler durch den Nenner dividierst:

3 + \frac{4735}{5602} \approx 3,8452334

Für den Fall, dass du ohne Periode rechnen willst, erhältst du

{[3,56562]}_{7} = 3 + \frac{5}{7} + \frac{6}{7^{2}} + \frac{2}{7^{3}} + \frac{6}{7^{4}} + \frac{2}{7^{5}} = 3 + \frac{14205}{16807} \approx 3,8451836

.

Bitte mit deinem Rechner nachrechnen!

Nachtrag: Jetzt sehe ich erst, dass du bei deinem letzten Eintrag statt der Zahl

{[3, \bar{562}]}_{7}

die Zahl

{[3, \bar{56262}]}_{7}

geschrieben hast. Dann ändert sich natürlich meine Rechnung insofern, als

\frac{6}{7^{5 n + 4}}

und

\frac{2}{7^{5 n + 5}}

wegfallen.

Das Ergebnis ist dann:

{[3, \bar{562}]}_{7} = 3 \frac{14161}{16806} \approx 3,842616

und

{[3,562]}_{7} = 3 \frac{289}{343} \approx 3,842566

.

Gruß

oculus

Jenny193 aktiv_icon

12:58 Uhr, 18.08.2014

Hey!
Danke für die tolle und sehr verständliche Antwort.
Meines Erachtens, dachte ich immer, dass nach dem Komma immer hoch minus irgendwas geschrieben wird ?

Oder wird hier rein mit positiven Exponenten nach den Komma gearbeitet ? :-)

Liebste Grüße !

oculus aktiv_icon

13:48 Uhr, 18.08.2014

Hallo Jenny,

du kannst natürlich statt

{[3, \bar{56262}]}_{7} = 3 + \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{5}{7^{5 n + 1}} + \frac{6}{7^{5 n + 2}} + \frac{2}{7^{5 n + 3}} + \frac{6}{7^{5 n + 4}} + \frac{2}{7^{5 n + 5}}) = 3 + \frac{4735}{5602}

auch

{[3, \bar{56262}]}_{7} = 3 + \sum_{n = 0}^{\infty} (5 \cdot 7^{- (5 n + 1)} + .

. etc. schreiben,

wenn du das gemeint hast.

Freut mich, wenn ich habe helfen können.

Herzliche Grüße

oculus

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