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Bruchrechnen und Fakultät

Schüler Kolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Rechenregel

tommy40629 aktiv_icon

08:23 Uhr, 27.01.2012

Hallo,

ich habe folgenden Bruch. Im Zähler steht "n!" und im Nenner steht "k!".

$k \leq n$ $n, k \in N$

Da "n" im Zähler steht und "k" im Nenner kann man auch sagen, $N e n n e r \leq Z ä h l e r$

Wenn der Zähler = Nenner ist, dann ist der Bruch = 1

$\frac{1 * 2 * 3 * 4}{1 * 2 * 3 * 4} = 1$

Wenn der Zähler größer als der Nenner ist, dann bleibt immer ein Wert aus dem Zähler stehen.

$\frac{1 * 2 * 3 * 4 * 5}{1 * 2 * 3 * 4} = 5$

Dann noch zum Vorgänger und Nachfolger von "n" und "k"

(n-1), n, (n+1) = Vorgänger, n, Nachfolger

(n-1) < n und (n+1) > n

1; 2; 3

1=2-1 und 3=2+1 (k-1) & (k+1)

Jetzt kann hoffentlich jeder verstehen was mir wichtig ist, die Tatsache, dass

der Vorgänger von "k", (k-1) kleiner ist als "k" und,

dass der Nachfolger von "k", (k+1) GRÖSSER ist als "k"

Alles was vor "k" steht, 1,2,3,...,(k-4),(k-3),(k-2),(k-1) ist kleiner als "k".

Ist das falsch????????????

Alles was hinter "k" steht, (k+1),(k+2),(k+3),(k+4),(k+5),... ist größer als "k".

Es heißt ja auch (k PLUS 1) (k PLUS 2)...

Ist das falsch????

Hier noch einmal die Bedingung für "k" und "n"

$k \leq n$ $n, k \in N$

Wenn ich eine Antwort habe, kann ich die Frage auch weiterstellen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

clockworkbeast aktiv_icon

08:37 Uhr, 27.01.2012

ja, das ist richtig. Alles, was vor

k

steht, ist kleiner als

k

.
Jetzt kannst Du Deine Frage stellen.

Tarengrim aktiv_icon

08:39 Uhr, 27.01.2012

Hm, ich antworte mal mit einem vorsichtigen ja?

k - 1

ist kleiner als

k

k + 1

ist größer als

k

aber das mußte doch nicht extra bewiesen werden. Und nur für alle Fälle, es ist sicher ein Bruch und nicht ein Binomial Koeffizient? Denn in diesem Fall ist es wichtig, dass eben

n

eine nicht negative, ganze Zahl und

n \geq k

ist um das ganze dann mit der "üblichen" Formel zu lösen.

tommy40629 aktiv_icon

08:48 Uhr, 27.01.2012

@ Clockworkbeast

Oh man, das gibt mir wirklich wieder Hoffnung.

Ok, wenn man jetzt "n!" hat, dann ist das ja

1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n = n!

Und wenn man "k!" hat, dann ist das ja

1*2*3*...*(k-2)*(k-1)*k = k!

Jetzt steht in meinem Buch:

$\frac{n!}{k!} = \frac{1 * 2 * 3 * ... * n}{1 * 2 * 3 * ... * k} = (k + 1) * ... * n$

Und zuvor wurde ganz ausdrücklich gefordert, das $k \leq n$ ist!

$\frac{n!}{k!} = \frac{1 * 2 * 3 * ... * n}{1 * 2 * 3 * ... * k} n = k$

$\frac{n!}{k!} = \frac{1 * 2 * 3 * ... * n * (n + 1)}{1 * 2 * 3 * ... * k} n > k$

Und jetzt kommt das, das nicht sein darf. Aber im Buch einfach gemacht wird.

$\frac{n!}{k!} = \frac{1 * 2 * 3 * ... * n}{1 * 2 * 3 * ... * k * (k + 1)} = \frac{1}{(k + 1)} k > n$

Und genau das ist der Grund warum ich schon jetzt seit ca. 30 Stunden nicht nachvollziehen kann warum auf einmal ein (k+1) auftaucht, das größer als "k" ist.

$\frac{n!}{k!} = \frac{1 * 2 * 3 * ... * n}{1 * 2 * 3 * ... * k} = (k + 1) * ... * n$

tommy40629 aktiv_icon

08:49 Uhr, 27.01.2012

@ Tarengrim

Beim Binominalkoff. bin ich noch nicht. Dafür muss ich erst mal die Fakultät 100% beherrschen und verstanden haben. Macht ja keinen Sinn die Rechenregeln der Fakultär auswendig zu lernen.

clockworkbeast aktiv_icon

09:10 Uhr, 27.01.2012

also noch mal, von vorne.
wie ich sehe, du verstehst die zweite Regel nicht. Diese lautet:

\frac{n!}{k!} = (k + 1) \cdot ... \cdot n

für

k \leq n

Zerlegen wir mal den Zähler und den Nenner:

\frac{n!}{k!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (k - 1) \cdot k}

Fall

1 : n = k

ist trivial:

\frac{n!}{k!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n} = 1

Fall

2 : k < n :

k

kleiner als

n

ist, und weil es sich um eine Folge der natürlichen Zahlen handelt, muss

n

das

k

irgendwo "im Bauch" haben:

\frac{n!}{k!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (k - 1) \cdot k \cdot (k + 1) \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (k - 1) \cdot k}

so, jetzt beim Kürzen bleibt im Zähler alles, was größer als

k

ist: also

(k + 1), . .

, (n - 1), n

.

Versuche mal als Beispiel zwei Zahlen zu zerlegen,

z . B

k = 5

und

n = 7 :

\frac{7!}{5!} = . .

.

da bleibt im Zähler doch

6 \cdot 7,

und

6 = k + 1

tommy40629 aktiv_icon

09:16 Uhr, 27.01.2012

n = 9

k = 4

n! und k!

$\frac{9!}{4!} = \frac{1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9}{1 * 2 * 3 * 4} = \frac{5 * 6 * 7 * 8 * 9}{1}$

Irgendwie verstehe ich nicht wie das "n" das (k+1) im Bauch hat.

Weil "n" größer als "k" ist??

clockworkbeast aktiv_icon

09:23 Uhr, 27.01.2012

ja, genau deswegen.

schau mal bei

9! :

9! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9

\to

bei diesem Produkt kommt irgendwo die Zahl 4 vor. Und das gilt für jede Zahl

k \leq 9

. Jede dieser Zahlen ist irgendwo in diesem Produkt drin.

Das können wir doch auch so schreiben:

\frac{9!}{4!} = \frac{1 \cdot ... \cdot (4 - 1) \cdot 4 \cdot (4 + 1) \cdot (4 + 2) \cdot ... \cdot 9}{1 \cdot ... \cdot (4 - 1) \cdot 4}

Nach dem Kürzen bleibt:

(4 + 1) \cdot (4 + 2) \cdot ... \cdot (9 - 1) \cdot 9

tommy40629 aktiv_icon

09:25 Uhr, 27.01.2012

Mir ist grad was eingefallen/ aufgefallen:

1*2*3*4...*(k-1)*k*(k+1)*...*(n-2)*(n-1)*n*(n+1)

Kann man ja so schreiben:

$\prod_{1}^{3} i * \prod_{4}^{k - 1} i * \prod_{i = k}^{k} i * \prod_{i = k + 1}^{n - 2} i * \prod_{i = n - 1}^{n} i$

Und wenn die Fakultät in verschiedene Teile aufteilen will und das allgemein schreibt, dann muss man das halt so machen; 1*2*3*4...*(k-1)*k*(k+1)*...*(n-2)*(n-1)*n*(n+1)

Habe ich das erst mal richtig verstanden??

clockworkbeast aktiv_icon

09:31 Uhr, 27.01.2012

ja. Wobei ich Deine Schreibweise mit diesen mehreren

\prod_{}

ziemlich übertrieben finde ;-)
aber wenn Dir das beim Verstehen hilft... ist ja auch korrekt.

tommy40629 aktiv_icon

09:31 Uhr, 27.01.2012

$\frac{12!}{7!} = \frac{1 * (1 + 1) * (1 + 2) * (1 + 3) * 5 * (7 - 1) * (8 - 1) * 8 * ... * (12 - 1) * 12}{1 * (1 + 1) * (1 + 2) * (1 + 3) * 5 * (7 - 1) * 7} = 8 * 9 * 10 * 11 * 12$

tommy40629 aktiv_icon

09:34 Uhr, 27.01.2012

Ich wollte es mir nur mit den Produkten klar machen, weil ja $n! = \prod_{i = 1}^{n} i$ ist.

Hast Du noch Zeit mir bei der 3. Regel zu helfen?? Ich habe da auch einen Ansatz.

Bummerang

09:35 Uhr, 27.01.2012

Hallo tommy40629,

wenn man in Deinem Term die Faktoren nachrechnet, dann stimmt zwar alles , aber die von Dir gewählte Schreibweise ist ungewöhnlich, verwirrend und nicht zu einem Aha-Effekt führend. Ich versuche mich auch mal daran, Dir in einem längeren Beispiel die Formeln näher zu bringen und dann diese Formel an einem weiteren Beispiel zu zeigen:

Sei

n = 20

und

k = 10,

dann gilt doch

\frac{20!}{10!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}

oder?

Wenn man das berechnet (also kürzt), dann ergibt das:

\frac{20!}{10!} = 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20

Das kann man auch kürzer schreiben:

\frac{20!}{10!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot ... \cdot 19 \cdot 20}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 9 \cdot 10}

und nach dem Kürzen

\frac{20!}{10!} = 11 \cdot 12 \cdot ... \cdot 19 \cdot 20

Verstehst Du diese kürzere Schreibweise?

Da nun aber

k = 10

ist, dann ist doch:

k - 1 = 9

k + 1 = 11

k + 2 = 12

Und weil

n = 20

ist, gilt auch:

n - 1 = 19

Das ist sicher auch von Dir verstanden worden, oder?

Jetzt ersetzen wir in dem von Dir noch verstandenen Bruch mit den Zahlen alles außer der

1,

der 2 und der 3 durch die entsprechenden Terme mit

k

und

n

\frac{n!}{k!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (k - 1) \cdot k \cdot (k + 1) \cdot (k + 2) \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (k - 1) \cdot k}

und nach dem Kürzen

\frac{n!}{k!} = (k + 1) \cdot (k + 2) \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n

Hier wurden die Zahlen aus dem konkreten Beispiel einfach nur durch ihre Variablenäquivalente ausgetauscht. Das kann man nun in der Rückrichtung für alle Werte von

n

und

k

machen.

Sei nun

n = 16

und

k = 8,

dann setzen wir das mal ein:

n - 1 = 15

k - 1 = 7

k + 1 = 9

k + 2 = 10

\frac{16!}{8!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot ... \cdot 15 \cdot 16}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 7 \cdot 8}

\frac{16!}{8!} = 9 \cdot 10 \cdot ... \cdot 15 \cdot 16

bzw. in der Langform:

\frac{16!}{8!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}

\frac{16!}{8!} = 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16

Verstehst Du jetzt den Zusammenhang!

tommy40629 aktiv_icon

09:36 Uhr, 27.01.2012

Ich stelle die Frage dann aber lieber neu, als eigenes Thema.

tommy40629 aktiv_icon

09:40 Uhr, 27.01.2012

@ Bommerang

Ja, habe ich verstanden. Mit meiner ungewöhnlichen Schreibweise, wollte ich mir das nur noch klar machen.

Ihr habt es Beide wirklich gut erklärt, Ihr solltet Lehrer oder Dozent werden.

tommy40629 aktiv_icon

09:42 Uhr, 27.01.2012

Ich stelle die Frage zur 3. Regel extra.

Noch mal vielen Dank für die Erklärungen zur 2. Regel.

tommy40629 aktiv_icon

09:42 Uhr, 27.01.2012

Ich stelle die Frage zur 3. Regel extra.

Noch mal vielen Dank für die Erklärungen zur 2. Regel.

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