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Buchstaben in Ziffern umwandeln
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Buchstaben, Knobelaufgabe, Ziffern
 
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Hallo, ich bin in der . Klasse und wir haben eine "Scherzaufgabe" vom Lehrer bekommen. Die Aufgabe ist ABCDEF+BCDEFA+CDEFAB=DEFABC. Jeder Buchstabe ist eine Ziffer. Mehr ist nicht gegeben. Ich habe länger darüber nachgedacht und hab diverse Möglichkeiten "ausprobiert". Ehrlich gesagt gibt es zu viel "Probiermöglichkeiten". Das einzige was ich mathematisch ermitteln konnte ist das . ICh weiß nicht wo ich anfangen oder über was ich mir gedanken machen soll. HAbe drei Tage probiert, hat aber nicht geklappt^^. Vielen Dank im Voraus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ein kleines Programm findet die Lösungen: ABCDEF ABCDEF Programm: FOR TO 9 FOR TO 9 FOR TO 9 FOR TO 9 FOR TO 9 FOR TO 9 IF THEN ENDIF NEXT NEXT NEXT NEXT NEXT NEXT a GRUSS, DK2ZA |
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ist doch garnicht so schwer: ABCDEF BCDEFA CDEFAB DEFABC ...jetzt schau die mal die "Einer" an! Da verschiedenem Buchstaben für verschiede Zahlen stehen gilt: muss größer 5 sein! (Falls und die Zahlen und 3 oder größer sind) jetzt schauen wir uns die 1 Spalte an: da kein Übertrag erfolgt muss ...schreib' die alle Möglichkeiten auf, und du wirst feststellen, das es nur eine Möglichkeit mit der 6 gibt, nämlich und da größer 5 sein muss, muss sein.... der Rest geht allein...nach ähnlichen Schema. :-) |
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Auch hier: muss nicht gelten. Es kann auch: , ja sogar |
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...jau...hab' ich schon gesehen... :-) |
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Hallo, nachdem DK2ZA wieder seine CPU gestreßt hat, kennst Du ja schon die Lösung. Hier aber mal ein Weg mit Köpfchen und ohne Einsatz von Technik (mal vom Taschenrechner mit den Grundrechenarten abgesehen): ABCDEF BCDEFA CDEFAB DEFABC ist eine Primzahl UND UND und UND ist durch teilbar es gibt nur wenige Lösungsmöglichkeiten für und ABC sind Möglichkeiten durch Vertauschen ABC sind Möglichkeiten durch Vertauschen ABC sind Möglichkeiten durch Vertauschen ABC sind Möglichkeiten durch Vertauschen ABC sind Möglichkeiten durch Vertauschen ABC sind Möglichkeiten durch Vertauschen ABC sind Möglichkeiten durch Vertauschen Die Werte die unter diesen Voraussetzungen annehmen kann sind im Bereich Mit der Teilbarkeit von ergeben sich folgende Lösungsmöglichkeiten: oder etwas anders: und noch etwas anders In der mittleren Gleichung sieht man, daß durch 7 teilbar sein muß. Weil 7 eine Primzahl und kein Teiler von 4 ist, müßte sein, das hatten wir aber oben ausgeschlossen. In der unteren Gleichung muß durch 7 teilbar sein. Für gilt aber und es gilt: nicht durch 7 teilbar nicht durch 7 teilbar nicht durch 7 teilbar nicht durch 7 teilbar könnte eine Lösung sein nicht durch 7 teilbar Mit ergeben sich die Fälle Keine Lösung ! Keine Lösung ! Keine Lösung ! Keine Lösung ! In der ersten Gleichung muß durch 7 teilbar sein. Für gilt aber und es gilt: nicht durch 7 teilbar könnte eine Lösung sein nicht durch 7 teilbar nicht durch 7 teilbar nicht durch 7 teilbar nicht durch 7 teilbar Mit ergeben sich die Fälle Keine Lösung ! Keine Lösung ! Das könnte eine Lösung sein ! Keine Lösung ! (siehe 2 Zeilen vorher) ; Keine Lösung ! Keine Lösung ! (siehe 4 Zeilen vorher) ; Keine Lösung ! Keine Lösung ! Keine Lösung ! Keine Lösung ! Einzige mögliche Lösung ist . Das und in die Gleichung eingesetzt, ergibt: und Probe: ist eine wahre Aussage! Die einzige Lösung für diese Aufgabe ist: PS (Eine Kleinigkeit dazu nachgereicht): Die Ziffernfolge ist die Periode der Zahl 7. . . . . |
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...das Ding hier hat mir keine Ruhe gelassen, und so konnte ich mal in Ruhe während meiner Busfahrt zur Arbeit über diese Aufgabe nachdenken....
Erstmal war es eine "Scherzaufgabe"... dann war die Ziffernfolge eines jeden Summanden und der Summe jeweils um eins verschoben.... ...eine gleichlautende Ziffernfolge hat man bei periodichen Brüchen. Da hier 6 Zahlenwerte sind ( und man bedenke, das es sich hier ja nicht um eine 6-stellige Zahl handeln muss, sondern es sich auch um die Addition von beliebigen Stellen hinterm Komma handeln kann, da an der 1. Stelle kein Übertrag stattfindet) Also . 0,ABCDEF +0,BCDEFA +0,CDEFAB =0,DEFABC oder sogar in der Form: 0,ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF... +0,BCDEFABCDEFABCDEFABCDEFA... +0,CDEFABCDEFABCDEFABCDEFAB... =0,DEFABCDEFABCDEFABCDEFABC... so...und eine Periode von 6 Stellen erzeugt ein Bruch von oder bis . Diese addiert ergaben eben wieder 7-tel. Die siebentel Brüche haben nur die Zahlen und Dies bedeutet für die ersten 3 Zahlen nur die Möglichkeiten der Zahlen oder alle anderen erzeugen einen Übertrag. Damit muss also 7 oder 8 sein.... es ist jetzt also nur die Frage, ob die Buchstabenfolgen für: steht, und das entspricht: (stimmt nicht, also falsch!) oder für: (passt!!!!!) also könnten wir das als Addition der ersten 6 Stellen hinterm Komma für sehen. ...fertig...ich hoffe, ihr habt nachvollziehen können, was ich da ausdrücken wollte. :-) |
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Hallo Edddi, der Ansatz über einen periodischen Bruch ist mir auch eingefallen, ich habe ihn aber am Ende verwerfen müssen, da ich keine Lust hatte nachzuweisen, daß die 7 die einzige Zahl mit einer Periodenlänge von 6 ist. Und einen Nachweis, daß es keine Lösungen außerhalb von "Perioden" gibt, dürfte mehr als aufwändig sein. Man findet somit EINE Lösung, indem man schreibt "... und eine Periode von 6 Stellen erzeugt ein Bruch von oder bis ." Natürlich ist es so, daß es hier keine weitere Lösung gibt, das geht allerdings in keinster Weise aus Deiner Lösung hervor. Volle Punktzahl gäbe es dafür also nicht. |
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...du hast Diesbezüglich auf jeden Fall Recht, aber als Lösungsansatz zum Auffinden EINER Lösung hat's gereicht... Ich bin fest der Meinung, das das finden EINER Lösung für diese Aufgabenstellung ausreichend ist. Die Aufgabe ist mit dem Einsetzen gleicher Zahlen für gleiche Zeichen, sowie das Erfüllen der Gleichung, gelöst. Das Auffinden aller Lösungen, bzw. der Nachweis das es nur diese eine Lösung gibt, war nicht explizit gefordert. Wenn ich solche ähnlichen Knobeleien in diversen Zeitschriften mal mache, dann reicht's mir auch, wenn ich die Lösung hab. Ich setz' mich dann nicht hin, und kontrolliere, ob es noch mehr Lösungen gibt, oder versuche rauszufinden, ob es die einzigste Lösung ist. Ansonsten muss man das wohl genauer untersuchen, so wie du das oben durchgeführt hast. :-) |
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Ich möchte euch allen sehr danken! ihr habt mir weitergeholfen! Ich finde diese Aufgabe ziemlich schwer. Der Lehrer hat diese Áufgabe auch einer 8. Klasse gegeben. Also wundert euch nicht wenn ihr ähnliche beiträge sieht. Der Lehrer ist übermotiviert.^^ |
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Ich möchte euch allen sehr danken! ihr habt mir weitergeholfen! Ich finde diese Aufgabe ziemlich schwer. Der Lehrer hat diese Áufgabe auch einer 8. Klasse gegeben. Also wundert euch nicht wenn ihr ähnliche beiträge sieht. Der Lehrer ist übermotiviert.^^ |
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...ja,ja...manchmal staunt man, was die Lehrer von den armen Kindern verlangen. Im Unterricht wird ihnen nur gerade das für die nächste Arbeit eingepaukt (...ich will nicht behaupten das es überall so ist, bei uns ist es aber definitiv so...), und dann stellt er ihnen Aufgaben, die sie überhaupt nicht lösen können, weil den Kinder kein Verständniss für die Mathematik beigebracht wurde.
So, nun zum Schmankerl...war Ende 5. Klasse...und sogar im Lehrbuch als Knobelaufgabe drin. Ein König einer Insel hat ein Gefängnis mit Gefängniszellen. Und er hat Wärter. Wenn die Zellen alle belegt sind, gibt's eine merkwürdige Weise, um wieder ein paar Zellen leer zu bekommen. Der 1. Wärter geht an jede Zellentür, und schließt die Tür auf. Der 2. Wärter geht dann an jede 2. Tür, und ändert den Verschlusszustand. Das heisst, da ja alle Türen auf waren, vwerschließt er also jede 2. Tür. Der 3. Wärter geht dann an jede 3. Tür, und ändert wieder den Verschlusszustend. Heißt, war es offen, so verschließt er die Zelle, und war si verschlossen, so öffnet er wieder dir Zelle. Der 4. Wärter geht an jede 4. Tür, und.....so weiter. Das geht bso durch, bis der . Wärter bei der . Tür den Verschlusszustand ändert. Wiviele Gefängnisinsassen kamen nun auf diese Art frei? ...unsere Kinder, (sowie auch die Eltern) waren hoffnungslos überfordert, und mein Telefon stand an diesem Abend nicht still. :-) |
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