 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Cantors zweites Diagonalargument
Cantors zweites Diagonalargument
Universität / Fachhochschule
Tags: Abzählbarkeit, Cantors zweites Diagonalargument, überabzählbar
 
|
  |
|---|
|
Habe einen Beweis, dass die natürlichen Zahlen nicht abzählbar sind. Wo liegt der Gedankenfehler? Hintergrund der Frage ist, dass ich das zweite Diagonalargument offenbar nicht ganz verstanden habe. Beweis, dass die natürlichen Zahlen nicht abzählbar sind ;-) Sei eine beliebige Folge natürlicher Zahlen. Wir werden zeigen, dass es mindestens eine natürliche Zahl gibt, die nicht in der Folge )vorkommt. Da diese Argumentation für jede beliebige Folge gilt, kann es keine Folge geben, die alle natürlichen Zahlen enthält. Die Zahlen in dieser als gegeben vorausgesetzten Folge sehen in ihrer Dezimalstellen-Entwicklung so aus: … … … Hier sind die natürliche Zahlen und die a_ij Dezimalstellen dieser natürlichen Zahlen. Die Diagonalelemente sind hervorgehoben, aus diesen konstruieren wir eine neue Zahl Jede Zahl der Folge definiert auf folgende Weise eine Dezimalstelle von . Wenn ist, setzen wir sonst . Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass eine andere Zahl ist als . Wenn ist, setzen wir sonst . Damit gilt ≠ . Allgemein legen wir für jede natürliche Zahl fest: Wenn a_ii ist, setzen wir sonst . Damit gilt ≠ . So gehen wir durch die ganze Folge und erhalten eine Zahl die sich von allen Zahlen in der Folge in mindestens einer Dezimalstelle unterscheidet. Diese Zahl nennt man die Diagonalzahl, die der Folge zugeordnet wird. Die Folge enthält also nicht alle natürlichen Zahlen. Wählt man eine andere Folge, erhält man möglicherweise eine andere Diagonalzahl, aber wir haben bewiesen: Für jede Folge von Zahlen gibt es eine natürliche Zahl, die nicht in dieser Folge enthalten ist. Deshalb enthält keine Folge alle natürlichen Zahlen. Mit Folgen als Abbildungen → aufgefasst, gibt es also keine surjektive Abbildung → N. ist deshalb weder gleichmächtig zu noch endlich, mithin überabzählbar. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
|
 |
|
. Cantor führt dies INNERHALB des Intervalls zum Widerspruch und folgert daraus natürlich für das gesamte . Bei dir würde die Erzeugung der Diagonalzahl jeweils mehr Stellen fordern als für die jeweilige Folgen notwendig sind. Bei Cantor wird nur nach "rechts" hinterm Komma erweitert, man bleibt also innerhalb des Intervalls während du dein Intervall jeweils nach "links" erweitern müsstest und damit die Zahlen immer größer würden. ;-) |
 |
|
Du beschreibst die Unterschiede zwischen Cantors' Beweis und dem oben stehenden "Beweis". Weshalb ist der obenstehende Beweis falsch? |
|
|
|
. du müsstest dann schon zeigen, dass also in der Menge enthalten ist, weil soll ja eine natürliche Zahl sein, die in der Menge ALLER natürlichen Zahlen enthalten ist, was du aber per Widerspruch ausschließt. Also ist keine natürliche Zahl - somit darfst du sie nicht "mitzählen". Cantor konnte allerding zeigen, das sein erzeugtes im Intervall enthalten ist UND ungleich aller Folgen von reellen Zahlen im Intervall ist - WIDERSPRUCH! Damit gibt es KEINE Folge reeller Zahlen, die ALLE reellen Zahlen enthält. ;-) |
|
|
|
Hallo it770! Um es konkreter zu machen: Dein Versuch, eine natürliche Zahl x mittels "x=...x3x2x1,0" zu konstruieren scheitert, da dieser Ausdruck unendlich viele Dezimalstellen vor dem Komma hätte. (Anders formuliert: Was soll der Ausdruck "...x3x2x1,0" bedeuten? Der Ausdruck aus Cantors Beweis ist hingegen eine abkürzende Schreibweise für den Grenzwert der konvergenten Reihe .) Viele Grüße Tobias |
|
|
|
Danke für die zahlreichen Antworten. Ich nehme mit: Es läuft auf den Unterschied zwischen "beliebig" und "unendlich" hinaus. Mein "Beweis" funktioniert nicht, weil eine natürliche Zahl zwar beliebig viele Stellen vor dem Komma haben kann, aber nicht unendlich viele. Cantors Beweismethode erfordert aber unendlich viele Stellen, da nur dann die Dialognalzahl nicht in der Folge (und nicht in der Restfolge) enthalten sein kann. Wäre es anders, würde man ja mit dem zweiten Diagonalargument auch die Überabzählbarkeit der Menge der abbrechenden Dezimalbrüche beweisen können. |
1366286
1366192