Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Catalan-Zahl Beweis

Catalan-Zahl Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomialkoeffizient

Chemie--- aktiv_icon

17:21 Uhr, 27.10.2021

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe

(s

. Foto)

Ich habe auch einen Rechnungsweg

(s

. Foto), wobei ich eine Stelle nicht verstehe

(\in

Rot markiert).

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Lg :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

DrBoogie aktiv_icon

17:51 Uhr, 27.10.2021

\frac{(2 n)!}{(n + 1)! (n - 1)!} = \frac{(2 n)! \cdot n}{(n + 1)! (n - 1)! \cdot n} = \frac{(2 n)! \cdot n}{(n + 1)! n!} = \frac{(2 n)! \cdot n}{(n + 1) \cdot n! \cdot n!} = \frac{n}{n + 1} \cdot \frac{(2 n)!}{n! n!}

und weiter wird

\frac{(2 n)!}{n! n!}

als Faktor rausgezogen, nach dem Gesetz

a b - a c = a (b - c)

Chemie--- aktiv_icon

18:02 Uhr, 27.10.2021

danke für deine schnelle Antwort.

Ich verstehe aber nicht, wieso du im 4. Schritt nochmal ein

n!

hinzufügst. Woher kommt das?

Und im 5. Schritt kürzt du scheinbar

(2 n)!

mit

n! \cdot n!,

aber das ist doch nicht das gleiche? Wieso kannst du das dann kürzen?

DrBoogie aktiv_icon

18:05 Uhr, 27.10.2021

Ich füge nichts hinzu. Und ich kürze auch nirgendwo etwas. Keine Ahnung, wie du darauf kommst.
Und natürlich ist

(2 n)!

nicht dasselbe wie

n! n!

.

Ich multipliziere am Anfang den Zähler und den Nenner mit

n

, was legitim ist, denn

\frac{a c}{b c} = \frac{a}{b}

für alle

c \neq 0

.
Und dann nutze ich, dass

n! = n \cdot (n - 1)!

und

(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!

, mehr braucht man nichts.

Chemie--- aktiv_icon

18:08 Uhr, 27.10.2021

Ah, verstehe. Danke.

Chemie--- aktiv_icon

18:17 Uhr, 27.10.2021

Ich habe doch noch eine Frage. Ich bin gerade bei einem Punkt, an dem ich nicht verstehe, wie ich dann auf 1 durch

n + 1

kommen soll..

supporter aktiv_icon

18:22 Uhr, 27.10.2021

Bilde den Hauptnenner!

DrBoogie aktiv_icon

19:57 Uhr, 27.10.2021

a - a \cdot \frac{n}{n + 1} = a \cdot 1 - a \cdot \frac{n}{n + 1} = a (1 - \frac{n}{n + 1}) = a \frac{n + 1 - n}{n + 1} = a \frac{1}{n + 1}

HAL9000

10:38 Uhr, 28.10.2021

War übrigens jüngst erstaunlicherweise als Matheolympiadeaufgabe (1.Runde 2021/22 Klasse 11-12) gestellt, in der Formulierungsvariante

"Für eine natürliche Zahl

n

werden alle Möglichkeiten betrachtet,

n

rote und

n

schwarze Kugeln in einer Reihe anzuordnen. Zwei Anordnungen werden dabei als gleich angesehen, wenn auf den Plätzen "1", "2", ..., "2n" jeweils die Farben der Kugeln übereinstimmen. Man beweise, dass die Anzahl dieser Anordnungen durch

(n + 1)

teilbar ist."

Entspricht natürlich dem Nachweis, dass

C_{n} = \frac{1}{n + 1} (\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array})

eine ganze Zahl ist, und der ist durch diese Differenzdarstellung

C_{n} = (\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 n \\ n + 1 \end{array})

ja erbracht. Schon komisch, was für einfache Aufgaben es bisweilen in den Wettbewerb schaffen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1543415

1543389

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?