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Cauchy Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Cauchy Folge

Freak1ooo aktiv_icon

12:14 Uhr, 06.12.2009

Hallo!
Habe 3 Fragen zur Cauchy Folge

1)

In einem geordneten K¨orper gilt: Eine Cauchyfolge besitzt hoechstens einen Haeufungswert.
2)Jede beschraenkte, monotone wachsende Folge ist eine Cauchyfolge. Gilt das in jedem
geordneten Koerper?

3)

Zeige:-D)as Produkt zweier Cauchyfolgen ist eine Cauchyfolge.

Ich bitte dringend um Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

13:19 Uhr, 06.12.2009

1:
Sei

(a_{n})

Cauchyfolge und

a, b

seien zwei verschiedene Häufungspunkte.
OBdA. sei

a < b,

also

ε := \frac{b - a}{3} > 0

. (NB: In einem geordneten Körper ist 3 invertierbar)
Dann gibt es ein

N \in ℕ

mit

| a_{n} - a_{m} | < ε

für alle

n, m > N

.
Andererseits gibt es ein

n > N

mit

| a_{n} - a | < ε

und ein

m > N

mit

| a_{m} - b | < ε

.
Dann

b - a = | b - a | \leq | b - a_{m} | + | a_{m} - a_{n} | + | a_{n} - a | < ε + ε + ε = b - a,

Widerspruch.

2.
Nein. Im angeordneten Körper der hyperreellen Zahlen ist durch

a_{n} = n

eine durch

ω

beschränkte Folge gegeben, die jedoch keine Cauchyfolge ist (es gibt kein

N \in ℕ

mit der Eigenschaft, dass

| a_{n} - a_{m} | < 42

für alle

n, m > N

gilt)

3.
Seien

(a_{n}), (b_{n})

Cauchyfolgen und sei

c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}

.
Die gegebenen Folgen sind als Cauchyfolgen beschränkt, etwa

| a_{n} | < A, | b_{n} | < B

.
Dann ist allgemein

c_{m} - c_{n} = a_{m} b_{m} - a_{n} b_{n}

= a_{m} b_{m} - a_{m} b_{n} + a_{m} b_{n} - a_{n} b_{n}

= a_{m} \cdot (b_{m} - b_{n}) + (a_{m} - a_{n}) \cdot b_{n}

also

| c_{m} - c_{n} | < A \cdot | b_{m} - b_{n} | + B \cdot | a_{m} - a_{n} |

Zu gegebenem

ε > 0

gibt es ein

N_{a} \in ℕ

mit

| a_{m} - a_{n} | < \frac{ε}{2 B}

für alle

m, n > N_{a}

(NB:

B

ist als positive Zahl und 2 sowieso invertierbar in jedem geordneten Körper, und

\frac{ε}{2 B} > 0)

.
Ebenso gibt es

N_{b} \in ℕ

mit

| b_{m} - b_{n} | < \frac{ε}{2 A}

für alle

m, n > N_{b}

.
Setze

N = max {N_{a}, N_{b}}

und es folgt

| c_{m} - c_{n} | < ε

für alle

n, m > N

Freak1ooo aktiv_icon

13:03 Uhr, 09.12.2009

Kann man sagen das

z . B

. bm ein Nachfolgeglied von bn ist und das die Differenz der beiden immer kleiner Epsilon sein muss.
Und warum dividiere ich durch 3 bei Bsp.1?
Und wie komme ich auf die Zahl

42

bei Bsp.2?

Vielen Dank im voraus

hagman aktiv_icon

16:56 Uhr, 09.12.2009

Zu 1: Das ist ein typischer

\frac{ε}{3}

-Beweis.
Ich Tteile durch

3,

weil ich drei Beiträge klein halten muss, ohn eüber die Aschätzung

b . a

hinauszuschießen: den Abstand eines in der Nähe befindlichen Folgengliedes von

b,

den eines anderen von a und den Abstand dieser beiden Folgenglieder.

2.
Die

42

ist eine Beliebige Zahl. Du kannst ebensogut

666

nehmen oder auch ganz profan die 1.
Ich hätte zu 2. eher eine Rückfrage "Was sind den hyperreelle Zahlen und was ist

ω

?" erwartet

. .

Freak1ooo aktiv_icon

10:06 Uhr, 10.12.2009

Hyperreelle Zahlen

\cdot R

sind die Reellen Zahlen

+

Infinitesimal Zahlen
In

\cdot R

gib es ein Element

w

mit der folgender Eigenschaft:

1 < w, 1 + 1 < w, 1 + 1 + 1 < w, 1 + 1 + 1 + 1 < w, . .

.
Eine solche Zahl gibt es in

R

nicht. Eine hyperreelle Zahl wie

w

nennt man infinit

Freak1ooo aktiv_icon

10:18 Uhr, 11.12.2009

Dankeschön

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