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Cauchy Integralformel im Reellen
Universität / Fachhochschule
Funktionentheorie
Tags: Funktionentheorie
 
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Hallo, cih habe letztens eine Frage gestellt auf die ich bisher keine Antwort gefunden habe und zwar gehts um die berühmte Cauchy Integralformel und um Holomorphie. Meine konkrete Frage: Warum gilt die Cauchy Integralformel nicht für gewisse Funktionen im Rellen? Oder anders gefragt kann ich Funktionentheorie mit gewissen reellen Funktionen auch betreiben? Beispiel: Ich habe die (reelle) Funktion die erfüllt die Dgl für: . Für eine solche Funktion kann ich doch ein Gebiet definieren die Cauchy Integralformel anwenden und würde automatisch alle Werte im inneren des Integrationsgebietes bestimmen können was aber im Reellen außer im Fall einer konstanten Funktion nicht gilt. Also ist Holomorphie doch nicht die entscheidende Einschränkung zur reellen Analysis? Ich hoffe es kann mich jemand aufklären warum die Integralformel nur im Komplexen gelten kann, denn mich beschleicht das Gefühl das Wesentliche nicht begriffen zu haben! Vielen Dank im Voraus für Hilfe! Beste Grüße Jmds Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Was genau meinst Du unter " erfüllt C-R-Gleichungen"? Die Funktionen und erfüllen sie, ja. Aber für sind diese Gleichungen nicht mal anwendbar. Denn C-R sind nur entweder für zwei reellwertige Funktionen definiert oder für eine Funktion mit dem Wertebereich . Aber nicht für eine reellwertige Funktion. |
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"Also ist Holomorphie doch nicht die entscheidende Einschränkung zur reellen Analysis?" Holomorphie ist im Grunde nur Differenzierbarkeit. Aber Differenzierbarkeit im Komplexen ist eine viel stärkere Bedingung. Deshalb haben komplex differenzierbare Funktionen einige schöne Eigenschaften, welche reell differenzierbare Funktionen nicht unbedingt haben - z.B. die Eigenschaft, durch eine Potenzreihe darstellbar zu sein usw. |
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Hallo danke für die Antwort! "oder für eine Funktion mit dem Wertebereich R2" ich hätte jetzt eine Klasse von Funktionen genannt für die eben die Bedingung usw. dann wäre jedes Integral Wegunabhängig ds und kann dann wie in der komplexen Analysis weiter machen. |
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Ich glaub ich hab es jetzt verstanden, bei der Herleitung der Cauchy- Riemann Dgl war doch die Bedingung dass die Grenzwerte der Funktion immer die gleichen egal wie ich mich einem Punkt in der komplexen Ebene nähere sind was ich aber bei meinen (doofen) Beispiele ja nie erfüllen kann.Dashalb ist Holomorphie so einschränkend. Stimmts? |
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Na ja, zweidimensional ist eben nicht dasselbe wie eindimensional. Aber das ist für mich schon zu sehr Philosophie und zu wenig Mathe, muss ich sagen. :-) Aus mathematischer Sicht sind die C-R-Bedingungen eine Extra Einschränkung, sie lassen nur einen kleinen Teil der zweidimensional diff-baren Funktion durch, sozusagen. Dass diese Einschränkung im Endeffekt stark genug ist, um immer Potenzreihenentwicklung zu haben (und damit auch Cauchy-Integralformel), das stellt sich so heraus, aber diesen Zusammenhang zu sehen - dafür muss man wohl ein Genie sein. Ich sehe da nichts. |
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"sie lassen nur einen kleinen Teil der zweidimensional diff-baren Funktion durch" naja eigentlich nur die Funktion oder? |
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Nein. Was ich meinte - alle komplex diff-bare Funktion sind auch reell diff-bar als Funktionen , aber sie stellen nur einen kleinen Teil von diesen Funktionen dar. |
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