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Cauchy-Produkt

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Folgen und Reihen

Tags: Cauchy Produkt, Folgen und Reihen, Frage zur Aufgabe

Mr-Un aktiv_icon

16:05 Uhr, 16.08.2015

Hallo erstmal,

Habe eine Frage bzgl. des Cauchy-Produkts und bräuchte dringend Hilfe.

Gegeben sind beide Male zwei (Summen von

k = 0

bis unendlich), nämlich

2^{k} \cdot x^{k}

und

{(- 2)}^{k} \cdot x^{k}

Mein Ansatz war. (Summe von

k = 0

bis unendlich) (Summe von

n = 0

bis

k) (2^{k - n} \cdot {(- 2)}^{n}) x^{k}

mit Vereinfachung kam dann (Summe von

k = 0

bis unendlich) (Summe von

n = 0

bis

k) ({(- 1)}^{n}) \cdot x^{k} \cdot 2^{k}

raus.

Meine Frage nun: wie kann ich eine Summe auslöschen, in dem Fall (Summe von

n = 0

bis

k) {(- 1)}^{n}

(da nur noch dieser Wert von

n

abhängt) und schliesslich eine Summe haben um das Cauchy-Produkt zu lösen. Bitte um eine Ausführliche Erklärung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:18 Uhr, 16.08.2015

Deine Vereinfachung stimmt nicht. Wenn Du die Formel richtig anwendest, kommt das raus:

(\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} (- 2)^{n} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} 2^{k} x^{k} (- 2)^{n - k} x^{n - k}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} 2^{n} x^{n} (- 1)^{n - k}) =

= \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n} (\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k}) = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n} \cdot \frac{1 + (- 1)^{n}}{2}

Mr-Un aktiv_icon

16:22 Uhr, 16.08.2015

Danke für deine Antwort hmm... Hat dann unser Prof. was falsch gemacht? Mir ging es nur um den Schritt mit dem Auslöschen einer Summe verstehen den Prozess nicht an der Stelle. xD bin jetzt mehr durcheinander

Könntest du bitte den Prozess an der Stelle, wo du die Summe auslöschst mit Einzelschritten nochmal erläutern wenn es geht?

michaL aktiv_icon

16:28 Uhr, 16.08.2015

Hallo,

es gibt in diesem Forum die Möglichkeit, Summen zu schreiben. Mache dich bitte damit vertraut. So ist jedenfalls schwieriger zu lesen.

Es geht also um

(\sum_{k = 0}^{\infty} 2^{k} x^{k}) \cdot (\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 2)}^{k} x^{k}) = \sum_{k = 0}^{\infty} (\sum_{n = 0}^{k} 2^{k - n} x^{k - n} {(- 2)}^{n} x^{n}) = \sum_{k = 0}^{\infty} (\sum_{n = 0}^{k} (- 1)^{n} 2^{k} x^{k})

So weit bist du gekommen, gut. Beachte, dass

2^{k} x^{k}

NICHT von

n

abhängen, also VOR die innere Summe gezogen werden können (endliche Summen, also ist das die Anwendung des Distributivgesetzes).

Dann erhältst du:

\sum_{k = 0}^{\infty} 2^{k} x^{k} (\sum_{n = 0}^{k} (- 1)^{n})

Das kannst du vereinfachen, indem du mal die inneren Summen berechnest für einige

k

.

Mfg Michael

PS: Sehe gerade, dass in der Zwischenzeit geantwortet wurde...
@DrBoogie: Doch, stimmt schon, ist eine Frage der Reihenfolge, in der beide Reihen multipliziert werden. Doch auch hier gilt ja das Kommutativgesetz (jedenfalls innerhalb gewisser Grenzen):

@Mr-Un: Trotzdem hat dir DrBoogie eine geeignete Vereinfachung angeboten.

Mr-Un aktiv_icon

17:21 Uhr, 16.08.2015

Hallo, danke dass ihr euch die Zeit genommen habt, um mir zu Antworten. Für

k =

Gerade kommt 1 raus und für

k =

ungerade kommt 0 raus. An der Stelle fällt es mir schwer eine Beziehung zu ziehen zwischen den 0 und 1 und der Summe davor. Ich komme irgendwie nicht auf das Ergebnis und zwar ist dieses ja Σ von

k = 0

bis unendlich (sorry habe es noch nicht raus wie man hier im Forum "Summen" schreibt)

2^{2 \cdot k} \cdot x^{2 \cdot k}

.

Danke nochmal

DrBoogie aktiv_icon

18:15 Uhr, 16.08.2015

Es gibt eine allgemeine Formel

\sum_{n = 0}^{k} a^{k} = \frac{1 - a^{k + 1}}{1 - a}

,
siehe hier: de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen

Für

a = - 1

wird daraus

\sum_{n = 0}^{k} (- 1)^{k} = \frac{1 - (- 1)^{k + 1}}{1 - (- 1)} = \frac{1 + (- 1)^{k}}{2}

.
Das ist eben

0

oder

1

, je nachdem

k

ungerade oder gerade ist.

-Wolfgang-

20:02 Uhr, 16.08.2015

Du meinst natürlich in beiden Fällen

\sum_{k = 0}^{n}

DrBoogie aktiv_icon

20:09 Uhr, 16.08.2015

Ich meinte schon

\sum_{n = 0}^{k}

, aber es muss dann

\sum_{n = 0}^{k} a_{n}

und

\sum_{n = 0}^{k} (- 1)^{n}

stehen, mein Fehler.
Oder eben

\sum_{k = 0}^{n} a_{k}

usw.

Mr-Un aktiv_icon

21:05 Uhr, 18.08.2015

Mittlerweile ist mir alles klar, jedoch hat unser Prof. das hier raus (Σ von

k = 0

bis unendlich

) 2^{2 k} \cdot x^{2 k}

raus. Wie kommt er blos darauf?

DrBoogie aktiv_icon

21:50 Uhr, 18.08.2015

"Wie kommt er blos darauf?"

Ganz einfach. Da

\frac{1 + (- 1)^{n}}{2} = 1

für gerade

n

und

= 0

für ungerade

n

,
kann man die Reihe in Summanden mit geraden und ungeraden Nummern "zerlegen":

\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n} \frac{1 + (- 1)^{n}}{2} = \sum_{k = 0}^{\infty} 2^{2 k} x^{2 k} \cdot \frac{1 + (- 1)^{2 k}}{2} + \sum_{k = 0}^{\infty} 2^{2 k + 1} x^{2 k + 1} \cdot \frac{1 + (- 1)^{2 k + 1}}{2} =

= \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{2 k} x^{2 k}

Mr-Un aktiv_icon

22:03 Uhr, 18.08.2015

@DrBoogie

Ich finde es sehr nett von dir, dass du mir hilfst. Muss jedoch gestehen dass ich, als einer der sich mit dem Thema neu auseinandersetzt, nicht so ganz hinterhekomme und für mich das Ganze sich nicht so einfach darstellt :-)

Meine Frage nun: wie bist du von

' n'

auf

' 2 k'

gekommen? Den Schritt konnte ich nicht so gut nachvollziehen.

DrBoogie aktiv_icon

22:42 Uhr, 18.08.2015

Betrachte eine allgemeine Reihe:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

.
Du kannst sie auch ohne Summenzeichen schreiben:

a_{0} + a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} + . . .

.
Aber Du kannst sie auch in zwei Teile zerlegen, zuerst nur die Summanden mit geraden Nummern und dann die mit ungeraden Nummern:

a_{0} + a_{2} + a_{4} + . . . + a_{1} + a_{3} + a_{5} + . . .

(das geht nur für absolut konvergierende Reihen, aber das ist jetzt nicht wichtig).
Also,

a_{0} + a_{1} + a_{2} + . . . = a_{0} + a_{2} + a_{4} + . . . + a_{1} + a_{3} + a_{5} + . . .

oder mit Summenzeichen:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{2 k} + \sum_{k = 0}^{\infty} a_{2 k + 1}

,
denn gerade Zahlen haben die Form

2 k

und ungerade haben die Form

2 k + 1

.

Dieses allgemeine Vorgehen habe ich auf Deine konkrete Reihe angewandt.

Mr-Un aktiv_icon

22:51 Uhr, 18.08.2015

BOAH danke. JETZT habe ich dank dir alles verstanden. Jetzt im Nachhinein damit die Reihe konvergiert muss ja der Betrag von

| x |,

bei uns in dem Fall

| - 1 | < 1,

sein ist ja nicht und du hast vorher geschrieben, dass man die geraden und ungeraden Nummern nur aufteilen kann, wenn sie konvergiert. (oder habe ich wieder was falsch verstanden :-)?

DrBoogie aktiv_icon

08:15 Uhr, 19.08.2015

"dass man die geraden und ungeraden Nummern nur aufteilen kann, wenn sie konvergiert"

Sogar wenn sie absolut konvergiert, einfach konvergiert reicht nicht.
Aber sie konvergiert absolut für

∣ 2 x ∣ < 1

, also für

∣ x ∣ < 0.5

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