 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Universität / Fachhochschule
Tags: Notationen..
 
|
anonymous 11:39 Uhr, 16.11.2020  |
|
|---|---|
|
Hallo, irgendwie verstehe ich den Beweis der Cauchy-Schwarz Ungleichung aktuell noch so gar nicht. Man nimmt ja an, dass v ungleich 0 und mir ist bereits die erste Ungleichung unklar, also 0 kleiner gleich....? Das hängt wahrscheinlich damit zusammen, dass ich nicht weiß, wie das Skalarprodukt (u,v) definiert ist?? Siehe Anhang Liebe Grüße  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
|
| |
 |
|
|
"Man nimmt ja an, dass v ungleich 0 und mir ist bereits die erste Ungleichung unklar, also 0 kleiner gleich....?" Dort steht rechts irgendwas in Quadrat. Klar, dass es ist. Ein Quadrat einer reellen Zahl kann nicht negativ sein! "Das hängt wahrscheinlich damit zusammen, dass ich nicht weiß, wie das Skalarprodukt (u,v) definiert ist??" Es ist egal, wie definiert ist, der Beweis funktioniert immer. |
|
anonymous 11:51 Uhr, 16.11.2020 |
|
|
Danke für deine Antwort! Ich glaube ich habe mich etwas schlecht ausgedrückt... ich weiß nämlich, dass das Quadrat immer größer gleich 0 ist, aber mir ist unklar, wie man überhaupt auf den rechten Teil kommt. Also wie kommt dieses Quadrat zustande?? |
|
|
|
|
|
Jemand hatte mal eine geniale Idee und hat dieses Quadrat geschrieben (weiß ehrlich gesagt nicht, wer konkret, aber das war weder Cauchy noch Schwarz). Ich denke nicht, dass jeder Normalsterbliche auf diese Idee kommen könnte. Manchmal bleibt uns nicht anderes übrig, als Genie von anderen zu bewundern. ;-) |
|
anonymous 11:58 Uhr, 16.11.2020 |
|
|
Vermutlich ist, aber doch schon |(u,v)|² = || ||v||²u-(u,v)v||² ?? Das ist mir schon nicht klar...weil ich gerade komplett neu im Thema bin Kann mir da jemand helfen? |
|
|
|
|
|
? Also das stimmt so nicht. Und ansonsten verstehe ich nicht, was du denn fragen willst? Der Beweis basiert auf einem Trick. Auf den man nicht so einfach kommt. Aber der Beweis an sich ist einfach. Man schreibt , multipliziert das aus nach den Regeln des Skalarpdoukts und bekommt den Ausdruck . Dieser Ausdruck ist also . Wir können ihn jetzt noch durch kürzen und bekommen , was immer noch ist. Also, . Fertig. |
|
|
|
|
|
Du fragst, wieso man ausgerechnet den Vektor quadriert? Die Antwort lautet: Weil es so klappt! Der Beweis zeichnet sich durch elegante Kürze aus, aber ist eben nicht gerade ein Paradebeipiel dafür, den Leser didaktisch "mitzunehmen". Das geht dann eher so: Man betrachtet für alle reellen letzteres per quadratischer Ergänzung und auch nur für . Das muss nun auch gelten, wenn man so wählt, dass der vordere Quadratterm in der letzten Umformung gleich Null ist. |
|
anonymous 12:42 Uhr, 16.11.2020 |
|
|
Danke, und da ich wirklich super neu in dem Thema bin, frage ich mich sogar, warum ||u-tv||²=||u||² - 2t(u,v) + t²||v||². Sieht aus, wie die zweite binomische Formel. Also ich habe gerade erst erfahren, was eine Norm ist und was ein Skalarprodukt ist. Wie die Norm mit dem Skalarprodukt zusammenhängt ist noch nicht klar... Das Skalarprodukt ist auf der rechten Seite ja z.B. (u,v), aber wie ist dies definiert? Warum ergibt sich das aus der Norm zum Quadrat... |
|
|
|
|
|
und da ich wirklich super neu in dem Thema bin, frage ich mich sogar, warum ||u-tv||²=||u||² - 2t(u,v) + t²||v||². "Sieht aus, wie die zweite binomische Formel." Ja, ist ähnlich. Skalarprodukt ist per Definition linear in beiden Komponenten (wenn wir uns zuerst mal auf den reellen Fall beschränken), also gilt und für alle Zahlen . Außerdem gilt (im reellen Fall) . Die dazu gehörende Norm wird durch definiert. Damit haben: . |
|
anonymous 13:22 Uhr, 17.11.2020 |
|
|
Vielen Dank für eure Antworten. So wird das ganze schon deutlich klarer. |
|
anonymous 13:22 Uhr, 17.11.2020 |
|
|
Vielen Dank für eure Antworten. |
|
anonymous 14:20 Uhr, 17.11.2020 |
|
|
Danke! |
1517760
1517483