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Charakteristik eines Körpers
Universität / Fachhochschule
Körper
Vektorräume
Tags: Charakteristik, endlicher Körper, Körper, Vektorraum
 
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Hallo, ich habe folgende Aufgabe: "Sei ein Körper. Gilt: ist nicht gleich 0 (die 1 wird dabei und im folgenden immer n-mal addiert), für alle so hat Charakteristik 0 und wir schreiben kurz char(K)=0. Existiert jedoch ein sodass so nennen wir die kleinste Zahl die Charakteristik von und schreiben char(K)=m. Zeigen Sie: Sei endlich. Dann existiert eine natürliche Zahl derart, dass: gilt. Die Charakteristik eines Körpers ist null oder eine Primzahl Geben Sie Beispiele für Körper mit char(K)=0 und Körper char(K)=p, prim, an." Die habe ich so gelöst: Angenommen . Dann ist . Also oder . Wegen der Minimalität von und der Nullteilerfreiheit des Körpers folgt: ist eine Primzahl, also . Zur habe ich: Beispiele: char(K)=0 gilt . bei den reellen oder rationalen Zahlen Mir fehlt also jetzt noch die komplette und bei der weiß ich nicht, wie ich die Beispiele angeben soll, bzw. was überhaupt ein Beispiel für char(K)=p wäre. Ich habe an die komplexen Zahlen gedacht, allerdings weiß ich nicht, wie ich dafür ein Beispiel ansetzte? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ja, ist wohl ok, wenngleich du ja eigentlich verwenden wolltest. Außerdem ist mir nicht ganz wohl, weil du ja Teil a) noch nicht erledigt hast. Ich finde, du solltest es stärker formalisieren. Betrachte die Abbildung , die wie folgt definiert ist: , , wobei das neutrale Element der Multiplikation sei. Auf diese Weise ist wenigstens (rekursiv) für nicht negative definiert ist. Sei also noch für : . Auf diese Weise ist also auf ganz definiert. Beweise, dass ein Gruppenhomomorphismus zwischen und der additiven Gruppe des Körpers ist. Damit erledigen sich sowohl a) als auch b). Überlege aber bitte selbst, warum! Denke daran, dass es ja um den Kern von geht! Mfg Michael |
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Ich verstehe leider nur Bahnhof Was hat denn der Gruppenhomomorphismus zwischen und damit zu tun? Und wie kommst du überhaupt auf diese Abbildung? Das Problem bei mir war und ist, dass ich bei der gar nicht genau weiß, was ich eigentlich machen soll, damit gilt . Ich kann mir das gar nicht vorstellen (außer natürlich für aber mir ist klar, dass das nicht die Lösung sein kann). |
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Okay, ich habe jetzt mal den Körperhomomorphismus und den Ker(φ) aufgestellt: φ:ℤ→K φ(a*b)=φ(a)*φ(b) ; φ(a+b)=φ(a)+φ(b) und sei das neutrale Element der Addition in φ, so heißt: Ker(φ):=c ℤ : φ(c)=e} der Kern von φ} es gilt: φ(1)=1, also: φ(1+1+1....+1) = φ(1)+φ(1)+....+φ(1)=1+1+1...+1 Und jetzt? |
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Hallo, bedenke, dass ich nur von Gruppenhomomorphismus sprach. Es gilt also nur . Darauf baut die Definition dieses(!) Homomorphismus' ja auch auf. Die ganzen Zahlen werden (additiv) durch die 1 aufgebaut, also braucht man nur ein Bild für 1 festzulegen, was ich im Prinzip auch gemacht habe. Der Vorteil ist, dass man nun weiß, dass der Kern von eine Untergruppe von ist. Weißt du, welche da in Frage kommen, d.h. habt ihr alle(!) Untergruppen von vielleicht schon besprochen? Wenn ein endlicher Körper ist, kann der Kern von ja wohl nicht(!) nur sein, oder? Klar, dass du noch erläutern musst, warum! Mfg Michael |
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Puh, die Lösung zu dieser Aufgabe fällt mir ganz schön schwer. Ich verstehe zwar, was ein Homomorphismus, Kern oder Bild ist, allerdings weiß ich gar nicht, wie ich das auf diese Aufgabe anwenden soll... Untergruppen von Z? Ich kenne da . die natürlichen Zahlen oder aber auch die Modulogruppen. |
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Hallo, hm, die natürlichen Zahlen bilden mit der Addition keine Untergruppe von . Ist ja klar, es fehlen die Inversen! Bleiben also noch die Modulgruppen, wobei ich nicht weiß, ob du da das richtige meinst. Ich hätte wenigstens schließen können, dass der Kern von eine Untergruppe von ist. Wegen (aber eben ) kann es NICHT sein. Aber immerhin sind alle Untergruppen von der Form . scheidet auch aus, da sonst in gelten würde. Also gibt es ein () mit . Wie kann man zeigen, dass eine Primzahl sein muss? Mfg Michael |
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