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Charakteristisches Polynom der Linksmultiplikation

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Vektorräume

Tags: Determinant, Eigenwert, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Vektorraum

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16:35 Uhr, 20.01.2025

Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, bei der ich einen Denkanstoß benötige. Sie ist die folgende:

Sei

A \in M (n \times n; K)

und

Φ : M (n \times n; K) \to M (n \times n; K)

der Endomor-
phismus, der durch die Linksmultiplikation mit

A

gegeben ist, das heißt

Φ (B) = A B

. Zeigen Sie, dass für die charakteristischen Polynome von

A

und

Φ

gilt:

P_{Φ} = (P_{A})^{n}

.

Also der

K

-Vektorraum der Matrizen

M (n \times n; K)

hat doch die Dimension

n^{2}

. D.h. man kann

Φ

durch eine Matrix

M_{Φ} \in M (n^{2} \times n^{2}; K)

beschreiben. Dann will ich doch zeigen, dass in diesem Fall

P_{Φ} (t) = d e t (M_{Φ} - t \cdot E_{n^{2}}) = (P_{A} (t))^{n} = (d e t (A - t \cdot E_{n}))^{n}

ist. Soweit so gut. Aber wie sieht nun

M_{Φ}

aus? Stelle ich mir irgendwie komplexer vor. Ich denke, da muss ein Trick her.

Was mir zudem noch auffällt, ist, dass der Grad von

P_{Φ}

wegen

M_{Φ}

dann

n^{2}

sein muss. Das deckt sich doch mit der Formel, die gezeigt werden soll, denn der Grad von

P_{A}

ist

n

. Daher klingt die Formel für mich plausibel, aber wie es nun weiter geht weiß ich leider nicht.

Es ist meine erste Frage, also korrigiert mich gerne, falls ich was falsch gemacht habe.
Würde mich sehr über einen Denkanstoß freuen!

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

jlnal aktiv_icon

17:17 Uhr, 20.01.2025

Ah, habs selbst gelöst. Also die Sache ist die, dass mein

M_{Φ}

bei Wahl einer entsprechenden Basis

B = (E_{11}, E_{21}, \dots, E_{n n})

aus

n

Mal

A^{T}

diagonal angeordnet besteht. Kann man sich ja mal überlegen, was die Bilder von den Basen sind und was dann deren Koordinaten sind.

Nun also zum charakteristischen Polynom: Subtrahiert man

t \cdot E_{n^{2}}

von

M_{Φ}

, dann sind dennoch entlang der Diagonalen

(A - t \cdot E_{n})^{T}

n

Mal. Damit ergibt sich als dessen Determinante logischerweise einfach

(d e t (A - t \cdot E_{n})^{T})^{n} = (d e t (A - t \cdot E_{n}))^{n}

. Womit entsprechend der Beweis zu Ende ist.

Es gibt vielleicht noch anzumerken, dass das charakteristische Polynom einer linearen Funktion nicht von der Wahl der Basen abhängt.

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