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Charakteristisches Polynom faktorisieren
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Eigenwert
 
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Hallo! Ich soll bei einer Aufgabe die Eigenwerte einer Matrix berechnen. Ich habe das Charakteristisches Polynom aufgestellt aber habe leider keine Ahnung wie ich das faktorisieren kann um meine Eigenwerte zu finden: Danke! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung) |
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Meinst du das ? |
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ja genau! WIe komme ich auf diese Darstellung ohne Hilfsmittel? |
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Eine Nullstelle "raten" und dann Polynomdivision. |
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Wenn erledigt, dann Beispiel "abhaken". |
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Hallo, das char. Polynom leitet sich ja aus einer Determinante ab. Zumeist lässt sich die Determinante mithilfe des Laplace'schen Entwicklungssatzes entwickeln. Wendest du zuvor determinantenerhaltende Umformungen an, kannst du einfacher faktorisieren. Wenn du die in Rede stehende Matrix hier aufschreibst, zeige ich dir, was ich meine, an dem Beispiel. Außerdem gibt es außer Raten und Teilen noch eine weitere Methode, die in deinem Falle gut geklappt hätte: Wenn ein Polynom mehrere Nullstellen hat, so findet man die Tatsache, dass es so ist, und welche das sind, dadurch heraus, dass man den ggT des Polynoms und seiner Ableitung berechnet. Dazu muss man nur ableiten (bekannt aus Schule) und den ggT berechnen (euklidischer Algorithmus). Die Nullstellen des ggT sind zugleich mehrfache Nullstellen des Ausgangspolynoms. Damit fällt das Raten weg oder wird einfacher (da der ggT sicher einen kleineren Grad hat). Mfg Michael |
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Hossa :-) Schau dir mal das folgende Polynom mit den Nullstellen a,b,c und d an: Ausmultipliziert erhält man: Siehst du, wo die Summe und das Produkt der Nullstellen stehen? Wenn du nun noch das alternierende Vorzeichen berücksichtigst, lässt sich das auf Polynome beliebiger Ordnung erweitern. Das "Raten" wird dadurch in Klausuren oft erheblich vereinfacht: In deinem Fall: muss die Summe der 3 Nullstellen sein und das Produkt . |
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Hallo, ok, der Trick, vor der Entwicklung der Determinante selbige umzuformen, gelingt mir hier nicht mal eben. Aber: Deine Matrix enthält eine Zeile mit Nullen bis auf an einer Stelle. Ihre Transponierte hat also eine Spalte mit Nullen bis auf einer Stelle. Diese Nichtnull ist offenbat ein Eigenwert (probiere es mal aus). Da aber jede Matrix zu ihrer transponierten Matrix ähnlich ist, haben also beide insbesondere das gleiche char. Polynom. Insbesondere erarbeiten wir uns OHNE zu raten den Eigenwert 3 als Nullstelle deines Polynoms. Das Teilen kann ich dir nicht ersparen. Mfg Michael |
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Ich weiß aber das ich die Eigenwerte ablesen kann wenn es eine Diagonalmatrix ist. Darf ich das auch bei oberer bzw. unterer Dreiecksform machen und gilt das dann . nur bei oder Matrizen? |
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Hallo, hm, ich war voreilig. Man kann leider an nicht den Eigenwert 3 ablesen. Entschuldige den Fehler. Korrekt ist: Bei Diagonalmatrizen, aber auch bei oberen (exklusives) oder unteren Dreieckmatrizen stehen die Eigenwerte auf der Diagonalen, UNABHÄNGIG von der Größe der Matrix! Hier ist weder eine Diagonalmatrix noch eine Dreiecksmatrix gegeben. Mfg Michael |
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