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Charakteristisches Polynom mit Komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert, Komplexe Zahlen

studibi aktiv_icon

10:55 Uhr, 12.09.2011

Hallo,

ich möchte das folgende charakteristische Polynom zwecks Bestimmung der zugehörigen Eigenwerte lösen:

x^{2} + 7 x + 12 + (- 2 x

-8)·i

Das habe ich bereits getan:
Den reellen Eigenwert von

x = - 4

konnte ich durch Zerlegung des Polynoms und Lösung von

x^{2} + 7 x + 12

erhalten:

x 1 = - 4, x 2 = - 3,

wobei nur

x 1 = - 4

auch eine Lösung für den zweiten Teil des Polynoms ist, da nur

- 4

ein Vielfaches von

- 8

ist.

- 3

scheidet somit aus.
Zwecks Bestimmung des komplexen Eigenwerts weiß ich nun nicht mehr weiter. Die Lösung soll sein

x = - 3 + 2 i

. Wenn jemand einen Ansatz sieht wäre ich sehr dankbar für eine Hilfestellung.

Marcel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:08 Uhr, 12.09.2011

Hallo,

Du musst das Polynom als ganzes untersuchen, die Nullstellen des Teils

x^{2} + 7 x + 12

haben

i

.allg. nichts mit den gesuchten Lösungen zu tun. Dass hier die berechnete

- 4

tatsächlich eine Lösung ist, ist Zufall

Du muss also die quadratische Gleichung

x^{2} + (7 - 2 \cdot i) \cdot x + 12 - 8 \cdot i = 0

lösen. Das kann man mit der p-q-Formel tun, wenn man komplexe Wurzeln lösen kann.

Wenn Du hier zufällig eine Lösung

- 4

erkannt hast, kannst Du auch durch

(x + 4)

diviedieren.

Viele Grüße
pwm

Gerd30.1 aktiv_icon

11:23 Uhr, 12.09.2011

z^{2} + (7 - 2 j) z + (12 - 8 j) = 0

mit der pq-Formel:

z = (- 3,5 + j) \pm w

mit

w^{2} = {(- 3,5 + j)}^{2} - (12 - 8 j) = 12,25 - 7 j - 1 - 12 + 8 j = - 0,75 + j = 1,25 \cdot e^{(π - 0,9273 + 2 k \cdot π) j} \Rightarrow

w_{k} = \sqrt{1,25} \cdot e^{(\frac{π}{2} - 0,4636 + k \cdot π) j} \Rightarrow

w_{0} = \sqrt{1,25} \cdot (cos (\frac{π}{2} - 0,4636) + j sin (\frac{π}{2} - 0,4636)) = 0,5 + j

w_{1} = \sqrt{1,25} \cdot (cos (3 \frac{π}{2} - 0,4636) + j sin (3 \frac{π}{2} - 0,4636)) = - 0,5 - j

also

z_{10} = - 3,5 + j + w_{0} = - 3,5 + j + 0,5 + j = - 3 + 2 j

z_{11} = - 3,5 + j + w_{1} = - 3,5 + j - 0,5 - j = - 4

z_{20} = - 3,5 + j - w_{0} = - 3,5 + j - 0,5 - j = - 4

z_{21} = - 3,5 + j - w_{1} = - 3,5 + j + 0,5 + j = - 3 + 2 j

studibi aktiv_icon

12:06 Uhr, 12.09.2011

danke euch beiden. habe jetzt nachgerechnet. ich musste da erst wieder reinkommen, das war ja schon ein bisschen länger her, dass ich sowas mal gerechnet hatte ;-) mal wieder ne gute übung. Danke!

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