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Computergrafik/Vektorgeometrie: Gerade durch 2Pkte
Universität / Fachhochschule
Tags: Computergrafik, Vektorgeometrie
 
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In meinem Fach Computergrafik haben wir Aufgaben zur vektoriellen Geometrie. Zum Beispiel die, die Gerade in impliziter und parametrischer Darstellung anzugeben, die durch die gegebenen Punkte A und geht. Im Vorlesungsskript ist angegeben, dass man dieses Gerade mit dem Kreuzprodukt der zwei Punkte in homogener Punkteform bestimmt. Also für folgt: . ( Das steht für die das Kreuzprodukt, keine Variable) Nach dem Ausrechnen bekomme ich wie bekomme ich nun die gewünschten Geradendarstellungen, sowie frage ich mich, woher der Z-Wert kommt, da die gegebenen Punkte ja nur sind? Ich hoffe auf Hilfe, HerrKlemmy Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Wie kommst du dazu, beiden Punkten die z-Koordinate 1 zuzuordnen? |
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Hallo HerrKlemmy, bei Deiner Beschreibung passt einiges nicht zusammen. In keinem Fall bekommst Du eine Gerade durch das Kreuzprodukt zweier Ortsvektoren zweier Punkte aus der Gerade. Ist die Fragestellung Gerade in einer Ebene (also 2D) oder im Raum (3D)? In beiden Fällen kannst Du eine Gerade in der Parameterform (Punkt, Richtung) angeben (s. de.wikipedia.org/wiki/Parameterform#Parameterform_einer_Geradengleichung Nachtrag: es sei denn .. die Gerade (2D) wird durch eine Ebene in Homogenen Koordinaten dargestellt. Dann ist das tatsächlich korrekt. Das Kreuzprodukt ist schon die Gerade! (s. de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Koordinaten Gruß Werner |
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Hallo Werner, die Methode scheint zu funktionieren. Wenn man beiden Punkten den z-Wert 1 zuweist und dann das Kreuzprodukt bildet, erhält man , und eine mögliche Form der Geradengleichung durch A und B ist -5x+10y=-50. |
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Ja - die Methode ist in der Computergrafik verbreitet. Sie hat auch den Vorteil, dass man Gerade und Punkte im Unendlichen darstellen kann, ohne auf nummerische Probleme zu stoßen (Division durch 0). |
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Danke für eure Hilfe. In der Tat finde ich es auch verwirrend, diese ganze Computergrafik-Mathe-Geschichten. Also das die Methode korrekt ist, ist doch schon mal gut. Und wenn das Kreuzprodukt also schon diese Gerade ist, wie gebe ich sie dann in gewünschter Form an? Im Skript steht, die implizite Form sieht so aus: und die paramtrische so: +tq Immer alles so unkommentiert in diesen Skripts... Welcher armer Student soll das verstehen!? :-) |
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Hallo HerrKlemmy, "Welcher armer Student soll das verstehen!? :-)" .. z.B. der, der schon in der Schule verstanden hat, was Rechnen mit Vektoren bedeutet ;-) Aber ok - ein gewisses Talent erleichtert die Sache ungemein und ist nicht jedem gegeben. Der Ausdruck ist ein Skalarprodukt. Früher schrieb man dafür . Formt man das um, so erhält man die Normalenform der Geraden (in 2D) -> de.wikipedia.org/wiki/Normalenform ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden, z.B. und ist der Normalenvektor der Geraden. .. und da mache ich jetzt einen Ausflug in die Welt der homogenen Koordinaten. Stelle Dir vor, Deine (Bildschirm-)Ebene, in der sich die Geraden befinden, wäre eine Ebene im Raum. Weiter liege diese Ebene bei . Dann existiert der Ursprung des Raums im Abstand von 1 'unterhalb' der Ebene. Jeder Punkt wird durch einen Vektor gegeben, der von eben diesem Ursprung auf den Punkt in der Ebene zeigt. Daher auch die 1 als dritte Koordinate! Bildest Du nun das Kreuzprodukt aus zwei Vektoren, die auf zwei Punkte (z.B. und ) zeigen, so erhält man einen Vektor (im Raum!), der senkrecht auf der Ebene steht, die von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Und da die Gerade durch und in dieser Ebene liegt, so steht er auch senkrecht auf der Geraden durch die beiden Punkten! Folglich ist , also Dein Ergenis von oben! Die parametrische Darstellung ist eine schlichte lineare Interpolation zwischen den Punkten und (jetzt nur aus Bequemlichkeit ohne ) Setze mal 0 und 1 für ein, so siehst Du, dass das gar nicht anders sein kann. Das ist dann der gegebene Punkt . Mit Vereinzelung von kommt man zur Punkt-Richtungsform der Geraden -> de.wikipedia.org/wiki/Parameterform. Gruß Werner |
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Das gibt mir einiges an Aufschluss über meine Lücken! Vielen Dank Werne für die aufschlussreiche und ausführliche Antwort! Gruß, Klemens |
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