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Cosinus des Schnittwinkels von Ebene und Gerade

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Schnittwinkel

curti96 aktiv_icon

18:10 Uhr, 10.02.2015

Wie genau berechne ich den Cosinus des Schnittwinkels zwischen einer Ebenen und Geraden.
Wie ich den Sinus berechne ist mir klar, jedoch weiß ich nicht, wie ich den Cosinus bekomme.

DANKE IM VORAUS

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Mathe45

18:20 Uhr, 10.02.2015

Wie hast du den "Sinus" berechnet ?

curti96 aktiv_icon

18:31 Uhr, 10.02.2015

Normalenvektor der Ebene (n)*Ortsvektor der Gerade (u)/Länge von n*Länge von

u

\frac{n \cdot u}{| n | \cdot | u |} = sin (y)

Mathe45

18:34 Uhr, 10.02.2015

Du meinst "Richtungsvektor der Geraden" ?

curti96 aktiv_icon

18:37 Uhr, 10.02.2015

ja, verschrieben. Weißt du, wie man den Cosinus berechnet?

Mathe45

18:45 Uhr, 10.02.2015

Ist

\vec{n}

der Normalvektor der Ebene und

\vec{v}

der Richtungsvektor der Geraden, so gilt für den Winkel

φ

zwischen Normalvektor und Richtungsvektor:

cos (φ) = \frac{\vec{n} \cdot \vec{v}}{| \vec{n} | \cdot | \vec{v} |}

Unter dem Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene versteht man also den Komplementärwinkel zu

φ

.
Es gilt

cos (φ) = sin

(90°-

φ) = \frac{\vec{n} \cdot \vec{v}}{| \vec{n} | \cdot | \vec{v} |}

Es stellt sich allerdings die Frage, was du überhaupt berechnen sollst.

curti96 aktiv_icon

18:53 Uhr, 10.02.2015

Aufgabe

1 (30

Punkte) Betrachtet werden die sechs Punkte des

R 3 P 1 =

(1,0,−3)

P 2 =

(−1,3,2)

P 3 = (2,1,2) P 4 = (0,2,0) P 5 = (3,0,0) P 6 =

(1,1,−1)

a)

Begr¨unden Sie, daß die durch die Punkte

P 1, P 2, P 3

aufgespannte Ebene

E 1

und die durch die Punkte

P 4, P 5, P 6

aufgespannte Ebene

E 2

zueinander parallel sind. Bestimmen Sie die Hesseform von

E 1

und

E 2

. Welchen Abstand haben

E 1

und

E 2

b)

Berechnen Sie den Cosinus des Winkels, unter dem die durch die Punkte

P 3

und

P 6

festgelegte Gerade

g

die Ebene

E 1

schneidet.

ich möchte aufgabe

1 b

lösen.

Mathe45

18:58 Uhr, 10.02.2015

Nach deiner Notation hast du

sin (γ)

berechnet.
Zwei Möglichkeiten.

cos (γ) = \sqrt{1 - {sin}^{2} (γ)}

ODER

γ

berechnen ( TR

z . B

. mit

{sin}^{- 1})

und davon den cosinus bilden.

ledum aktiv_icon

19:01 Uhr, 10.02.2015

Hallo

{cos}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ) = 1

kann man in solchen Fällen immer benutzen. den sin des Winkels zu der Ebene hast du richtig berechnet
oft meint man aber auch mit dem Schnittwinkel, den mit der Normalen. ich würde in ner Prüfung beide hinschreiben.
Gruß ledum

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