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Cos(x-y) = f(x)*g(y)

Universität / Fachhochschule

Tags: Cosinusfunktion, Winkelfunktion

BenClonmel aktiv_icon

13:01 Uhr, 20.02.2025

Kann man die Funktion

cos (x - y)

als Produkt zweier Funktionen schreiben wie

cos (x - y) = f (x) \cdot g (y)

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KL700 aktiv_icon

13:04 Uhr, 20.02.2025

de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme

BenClonmel aktiv_icon

13:06 Uhr, 20.02.2025

Wie soll das helfen?

calc007

13:24 Uhr, 20.02.2025

Als PRODUKT (im strengen Sinne) tun wir / tue ich mir schwer, wie das gehen soll.
Aber als Linearkombination gilt bekanntlich das Additionstheorem:

cos (x - y) = cos (x) \cdot cos (y) + sin (x) \cdot sin (y)

BenClonmel aktiv_icon

13:34 Uhr, 20.02.2025

Diese Beziehung ist mir bekannt, aber ich möchte wissen, ob es als Produkt möglich ist, oder ob es einen Beweis dafür gibt, dass es nicht möglich ist, so ein Produkt zu definieren.

Roman-22

13:36 Uhr, 20.02.2025

>

Kann man die Funktion

cos (x - y)

als Produkt zweier Funktionen schreiben
Wenn du das Skalarprodukt als Produkt zulässt, kannst du das entsprechende Additionstheorem auch schreiben als

cos (x - y) = f (x) \cdot f (y)

mit

f (x) := (\begin{matrix} cos x \\ sin x \end{matrix})

BenClonmel aktiv_icon

13:41 Uhr, 20.02.2025

Auch dieser Zugang ist mir bekannt, ist aber nicht das, was ich suche. Die Funktionen

f (x)

und

g (y)

sollen skalare Funktionen sein.

Roman-22

13:48 Uhr, 20.02.2025

Das wird wohl schwierig werden.
Ich nehme an, wir dürfen uns auf reelle Argumente beschränken.

Wegen

cos (x - x) = cos 0 = 1

muss gelten

f (x) \cdot g (x) = 1, \forall x \in ℝ

. Daraus folgt

u . a .,

dass

f (x) \neq 0, \forall x \in ℝ

Wegen

cos (π - \frac{π}{2}) = cos (\frac{π}{2}) = 0

müsste aber entweder

f (π) = 0

oder aber

g (\frac{π}{2}) = 0

gelten.

Scheint ein Widerspruch zu sein.

BenClonmel aktiv_icon

13:53 Uhr, 20.02.2025

Eine interessante Argumentation. Es wäre aber für mein Problem durchaus befriedigend, wenn sich eine Lösung für die Zusatzbedingungen

0 < x < \frac{Π}{2}

und

0 < y < \frac{Π}{2}

ergibt. Siehst du hier auch einen Widerspruch?

KL700 aktiv_icon

13:59 Uhr, 20.02.2025

Laut Additionstheorem gilt für

cos (x - y) :

cos (x - y) = cos (x) \cdot cos (y) + sin (x) \cdot sin (y)

Nehmen wir an,

cos (x - y)

ließe sich als Produkt

f (x) \cdot g (y)

darstellen.
Dann müsste gelten:

cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y) = f (x) g (y)

Setzt man spezielle Werte ein:

Für

x = y = 0 : f (0) \cdot g (0) = 1

Für

x = y = \frac{π}{2} : f (\frac{π}{2}) \cdot g (\frac{π}{2}) = 1

Für

x = 0, y = \frac{π}{2} : f (0) \cdot g (\frac{π}{2}) = 0

Für

x = \frac{π}{2}, y = 0 : f (\frac{π}{2}) \cdot g (0) = 0

Aus den ersten beiden Gleichungen folgt, dass

f (0) \cdot g (0) = f (\frac{π}{2}) \cdot g (\frac{π}{2})

Aus den letzten beiden folgt, dass entweder:

f (0) = 0

oder

g (\frac{π}{2}) = 0

UND

f (\frac{π}{2}) = 0

oder

g (0) = 0

Das steht im Widerspruch zu

f (0) \cdot g (0) = f (\frac{π}{2}) g (\frac{π}{2}) = 1

Der Widerspruch beweist, dass

cos (x - y)

nicht als Produkt

f (x) \cdot g (y)

darstellbar ist.

So könnte

o

.ä. man argumentieren.

BenClonmel aktiv_icon

14:03 Uhr, 20.02.2025

Auch diese Argumentatiom gefällt mir, allerdings - wie oben geschrieben: Es wäre für mein Problem durchaus befriedigend, wenn sich eine Lösung für die Zusatzbedingungen

0 < x < \frac{Π}{2}

und

0 < y < \frac{Π}{2}

ergibt. Siehst du hier auch einen Widerspruch?

calc007

14:43 Uhr, 20.02.2025

Schon für

0 < x < \frac{π}{2}

gilt doch einsichtig:

Eine reine FAKTORISIERUNG

cos (x - y) = f (x) \cdot g (y)

würde doch bedeuten, dass bei konstantem

x

nur noch eine Funktion

cos (x - y) =

Konstante

\cdot g (y)

gälte.
Aber - das steht doch im Widerspruch zur Kenntnis, dass cos(Konstante-y) eine Sinus- bzw. Kosinus-Funktion bleibt, nur eben mit dem Phasenversatz - wenn wir ihn hier "x" nennen wollen.
Und das ist eben keine Skalierung

cos (x - y) =

Konstante

\cdot g (y)

HAL9000

14:51 Uhr, 20.02.2025

Sei

I \subset ℝ

ein beliebiges Intervall positiver Länge, z.B. jenes

I = (0, \frac{π}{2})

.Nehmen wir nun an es gäbe reelle Funktionen

f, g

mit

f (x) \cdot g (y) = \cos (x - y)

für alle

x, y \in I

f, g

besitzen dann keine Nullstellen, siehe Argumentation Roman-22. (*)

Seien nun

x_{1}, x_{2} \in I

beliebig gewählt. Dann gilt

f (x_{1}) \cdot g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) = \cos (\frac{x_{1} - x_{2}}{2})

f (x_{2}) \cdot g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) = \cos (\frac{x_{2} - x_{1}}{2})

.

Beide Werte sind wegen der Geradheit der Kosinusfunktion gleich, und wegen (*) folgt dann auch sofort

f (x_{1}) = f (x_{2})

, d.h.

f

muss konstant auf ganz

I

sein.

Von hier dann zu einem Widerspruch zu kommen, sollte jetzt nicht mehr so schwer sein.

P.S.: Funktioniert auch bei bei beliebig kleinen Intervallen

I

, sofern sie immer noch positive Länge haben.

BenClonmel aktiv_icon

15:00 Uhr, 20.02.2025

Ich danke euch, so macht es Sinn für mich.

abakus

15:35 Uhr, 20.02.2025

Wegen sin(x) / cos(x)=tan(x) kann man sin(x) als cos(x)*tan(x) schreiben.
Somit lässt sich
cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y) schreiben als
cos(x)*cos(y)+cos(x)*tan(x)*sin(y)
was nach Ausklammern von cos(x) das schöne Produkt
cos(x)*(cos(y)+tan(x)*sin(y)) ergibt.

Das ist zwar nicht f(x)*g(y), sondern f(x)*g(x,y), aber ich bin mir nicht sicher, ob der Fragesteller diese Notwendigkeit von f(x)*g(y) einfach nur selbst hineininterpretiert hat.

BenClonmel aktiv_icon

15:39 Uhr, 20.02.2025

. .

. was die eingangs gestellte Frage in keiner Weise beantwortet.

Und nein, der Fragesteller hat explizit und bewusst nach

f (x) \cdot g (y)

gefragt.

HAL9000

15:46 Uhr, 20.02.2025

Ok, dann mach ich mal noch den Deckel drauf: Ich hatte oben geendet mit "

f

ist auf

I

konstant", d.h. es existiert ein

C \neq 0

mit

f (x) = C

für alle

x \in I

. Wegen

f (x) \cdot g (x) = \cos (0) = 1

folgt dann

g (x) = \frac{1}{C}

für alle

x \in I

, also auch Konstantheit von

g

.

Und daraus schließlich

1 = f (x) \cdot g (y) = \cos (x - y)

für alle

x, y \in I

, was für ein Intervall

I

positiver Länge offenkundig im Widerspruch dazu steht, dass der Kosinus in jeder Nullumgebung auch Werte ungleich 1 annimmt.

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