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Cov(X,Y + Z) = Cov(X,Y) + Cov(X,Z) beweisen

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Korrelation, Zufallsvariablen

radkappe aktiv_icon

14:39 Uhr, 22.04.2018

Hi,
ich bin nun im ersten Semester und habe, wie womöglich viele, zum ersten Mal wirklichen Kontakt mit mit mathematischen Beweisen. Ich hatte im Abi bereits einige Probleme mit Stochastik und möchte mein erstes Semester gleich damit beginnen Unzulänglichkeiten zu beseitigen.

Ich habe leider noch keine Lösungsansätze, weil ich nicht so genau weiß, wie ich Beweise angehen sollte.

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilaufgaben

a)

und

b)

Vielen Dank für Deine Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

17:42 Uhr, 22.04.2018

a)

Lösungsansatz:
Wie ist die Cov definiert?
Setzte bei der Definition statt

Y

eifnach

(Y + Z)

ein und forme alles mit Hilfe der linearität des Erwartungswertes um. Überelege dir dabei noch welche der Angaben hier wichtig sind.

b)

Gleicher Ansatz wie bei

a)

Wie ist die Cor definiert? Einsetzten und mit hilfe der angaben entsprechend umformen.

radkappe aktiv_icon

22:47 Uhr, 22.04.2018

Hi!
Danke.

Also zur

a) :

Cov(X,

Y + Z)

= E [X (Y + Z)] - E [X] E [Y + Z]

= E [X \cdot Y] + E [X \cdot Z] - E [X] E [Y] - E [X] E [Z]

= Cov(X,Y)

+

Cov(X,Z)

Passt das und wird das dem Professor reichen?

Zur

b)

ich weiß, dass

ρ(X,Y+Z) = Cov(X,Y+Z))/Sqrt(Var(X)

\cdot

Var(Y))

und Cov(X,Y+Z)

= E [X (Y + Z)] - E [X] \cdot E [Y]

Aber so richtig weiter komme ich da nicht.

Könntest Du mir helfen?

Danke und Grüße

anonymous

09:40 Uhr, 23.04.2018

a)

Du startest mit dem Verschiebungssatz nicht mit der Definition. Könnte sein, dass du den auch erst herleiten musst. Macht aber vermutlich Sinn, denn mit Verschiebungssatz rechnen ist meist viel einfacher/kürzer.
Damit deine Umformungen/Gleichungen gelten, müssen die die Erwartungswerte

E (X), E (Y), E (Z), E (X Y), E (X Z)

existieren. Dies ist erfüllt, da

E (X^{2}), E (Y^{2}), E (Z^{2}) < \infty

gilt. Wieso diese Folgerung gilt müsste dir jemand anders erklären :-)
Sonst wüsste ich nichts was dein Prof dagegen sagen könnte.

b)

vielleicht hast du dich ja nur verschireben aber, die Cor stimmt nicht ganz:

\to V a r (Y + Z)

ρ (X, Y + Z) = \frac{C o v (X, Y + Z)}{\sqrt{V a r (X) \cdot V a r (Y + Z)}}

Die Varianz ist zwar nicht unbedingt linear lässt sich aber trotzdem umformen und mit den Angaben der Aufgabenstellung vereinfachen. Du kannst dazu erstmal die Rechenregeln für

V a r (Y + Z)

nachschlagen, aber vermutlich musst du sie auch noch Beweisen. Das sollte aber kein Problem sein, wenn man weiß was rauskommen soll (Ansatz: starte mit der Definition, bzw dem Verschiebungssatz der Var und setzte

Y + Z

ein und forme entsprechend um)

Die Cov kannst du mit

a)

umformen.

Anmerkung:
Ich hatte nie einen Prof bei dem eine strenge Beweisführung nötig war. Wenn du dir ganz sicher gehen willst, dann Frag nochmal nach. Oder vielleicht meldet sich hier ja auch einer der stillen Beobachter die das besser beurteilen können.

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