Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » DF mit Parametern

DF mit Parametern

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

She-Ra aktiv_icon

10:27 Uhr, 16.01.2015

Hallo,

folgende Funktion ist gegeben:

f (x) = c \cdot e^{\frac{- | x - μ |}{b}}, x \in R

mit

μ, b, c \in R, b > 0, c > 0

(a)

Wie groß ist der Parameter

c,

wenn man

μ, b

aus den Daten bestimmt bzw. kennt?

(b)

Berechnen Sie zu

f

die zugehörige Verteilungsfunktion F. Hinweis: Fallunterscheidung mit

x < μ, x \geq μ

ok also ich habe zunächst

f

so aufgeschrieben: (da ich nicht weiß, wie man hier ne große geschwunge Klammer macht nenne ich die beiden Fälle,

f_{1} (x)

und

f_{2} (x) :

f (x) = {f_{1} (x) = c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}}

für

x \geq μ, f_{2} (x) = c \cdot e^{\frac{- x + μ}{b}}

für

x < μ

zu(a): hier soll man doch

c

bestimmen, also

f

nach

c

auflösen, dann erhalte ich

c = 0,

ist das sinnvoll oder soll ich

c

so bestimmen, dass

f

immernoch ne Dichte ist, sprich es muss ja gelten das die Fläche unter dem Intergral von

f

gleich 1 ist?

zu

(b) :

ja hier habe ich

f_{1} (x)

und

f_{2} (x)

jeweils seperat intergiert und erhalte dann das hier : ich mache das mal für

f_{1} (x)

ausführlich:

f_{1} (x) = c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}}

\int c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}} d x = \int c \cdot e^{\frac{- μ}{b}} e^{\frac{x}{b}} d x = c \cdot e^{\frac{- μ}{b}} \cdot \int e^{\frac{x}{b}} d x = c \cdot e^{\frac{- μ}{b}} \cdot (\frac{e^{b \cdot x}}{b} - \frac{1}{b}) =

c \cdot e^{\frac{- μ}{b}} \cdot (b \cdot e^{\frac{x}{b}} - b) = b \cdot c \cdot e^{\frac{x}{b} \frac{- μ}{b}} - b \cdot c \cdot e^{\frac{- μ}{b}} = b \cdot c \cdot (e^{\frac{x - μ}{b}} - e^{\frac{- μ}{b}})

so und für

f_{2} (x)

analog dann erhalte ich

F (X) :

F (x) = {F_{1} (x) = b \cdot c \cdot (e^{\frac{x - μ}{b}} - e^{\frac{- μ}{b}})

für

x \geq μ, F_{2} (x) =

b \cdot c \cdot (e^{\frac{μ}{b}} - e^{\frac{μ - x}{b}})

für

x < μ

Ich freue mich über Rückmeldung...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

She-Ra aktiv_icon

18:09 Uhr, 16.01.2015

Hmmm.... es wäre ganz nett, wenn mir jemand helfen würde, sonst weiß ich doch nicht ob das richtig ist

- . -

DrBoogie aktiv_icon

18:10 Uhr, 16.01.2015

"soll ich c so bestimmen, dass f immernoch ne Dichte ist, sprich es muss ja gelten das die Fläche unter dem Intergral von f gleich 1 ist"

Ja, so. Und natürlich ist

c

nicht

0

DrBoogie aktiv_icon

18:11 Uhr, 16.01.2015

Bei b) verstehe ich nicht, was Deine Integrationsgrenzen sind.

She-Ra aktiv_icon

18:24 Uhr, 16.01.2015

Toll eine Antwort.. Ok also um

c

auszurechnen muss ich ja ebenfalls Integrationsgrenzen benutzen, da

c \in R

sind meine Grenzen

(- \infty, + \infty)

Ok das mach ich gleich mal und bei

b)

ok da muss ich ebefalls die Grenzen wie oben nehmen? Oder? Ich hab meine Verteilungsfunktion unbestimmt angeben, deshalb keine Grenzen, jetzt weiß ich ja was ich machen soll...

She-Ra aktiv_icon

19:21 Uhr, 16.01.2015

Also irgendwie haut das nicht so richtig hin

- . -

ich nehme gleich diesen Schritt von oben: da muss doch für

f_{1} (x)

und

f_{2} (x)

das gleiche rauskommen oder? Oder ist das falsch wenn ich das seperat bertrachte, aber muss ich doch weil ich ja den Betrag habe??

jedenfalls komme ich für

f_{1} (x)

zu dem

= c \cdot e^{\frac{- μ}{b}} \cdot \int e^{\frac{x}{b}} d x =

c \cdot e^{\frac{- μ}{b}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{\frac{x}{b}} d x =

c \cdot e^{\frac{- μ}{b}} \cdot lim_{k \to \infty} \int_{- k}^{k} e^{\frac{x}{b}} d x =

c \cdot e^{\frac{- μ}{b}} \cdot lim_{k \to \infty} (\int_{- k}^{0} e^{\frac{x}{b}} d x + \int_{0}^{k} e^{\frac{x}{b}} d x)

= 0

sollte da nicht 1 rauskommen was mache ich denn falsch

- . -

DrBoogie aktiv_icon

19:21 Uhr, 16.01.2015

"Ich hab meine Verteilungsfunktion unbestimmt angeben"

Das kannst Du nicht machen, so kommst nicht Vernünftiges raus.
Wenn

f (x)

die Dichte ist, dann ist Verteilungsfunktion

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t

DrBoogie aktiv_icon

19:29 Uhr, 16.01.2015

"Oder ist das falsch wenn ich das seperat bertrachte"

Falsch.
Versuche zu verstehen, was wirklich zu machen ist.

She-Ra aktiv_icon

19:38 Uhr, 16.01.2015

f (x)

mit Falluntersheidung ist Falsch!! Was soll ich denn sonst mit dem Betrag machen?

Gut dann habe ich es doch ganz falsch verstanden....

Also ich soll jetzt

c

so berechnen, dass das gilt:

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

?

Ich verstehe immer noch nicht, wie das integrieren mit dem Betrag funktionieren soll, aber ok wird schon... ich rechne einfach mal

DrBoogie aktiv_icon

20:03 Uhr, 16.01.2015

Ich meinte nicht, dass es falsch ist, den Integrationsbereich in zwei Teilbereiche zu zerlegen, um den Betrag "auflösen" zu können.
Deine Berechnungen sind aber falsch.

She-Ra aktiv_icon

20:06 Uhr, 16.01.2015

muss ich da vielleicht den Integratinsbereich aufteilen, ich meine jetzt wegen dem Betrag

\int_{- \infty}^{\infty} c \cdot e^{\frac{- | x - μ |}{b}} d x = \int_{- \infty}^{0} c \cdot e^{\frac{- | x - μ |}{b}} d x + \int_{0}^{\infty} c \cdot e^{\frac{- | x - μ |}{b}} d x =

\int_{- \infty}^{0} c \cdot e^{\frac{- x + μ}{b}} d x + \int_{0}^{\infty} c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}} d x

geht das so?

Also jetzt bin ich gerade total verwirrt ..

DrBoogie aktiv_icon

20:19 Uhr, 16.01.2015

Jetzt ist es schon fast richtig.
Nur musst Du nicht im

0

"teilen", sondern in

μ

. Also

\int_{- \infty}^{μ} + \int_{μ}^{\infty}

She-Ra aktiv_icon

20:48 Uhr, 16.01.2015

ALso so

\int_{- \infty}^{\infty} c \cdot e^{\frac{- | x - μ |}{b}} d x = \int_{- \infty}^{μ} c \cdot e^{\frac{- | x - μ |}{b}} d x + \int_{μ}^{\infty} c \cdot e^{\frac{- | x - μ |}{b}} d x = \int_{- \infty}^{μ} c \cdot e^{\frac{- x + μ}{b}} d x + \int_{μ}^{\infty} c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}} d x =

lim_{k \to \infty} (\int_{- k}^{μ} c \cdot e^{\frac{- x + μ}{b}} d x + \int_{μ}^{k} c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}} d x) = lim_{k \to \infty} (c - c \cdot e^{\frac{k + μ}{b}} + c \cdot e^{\frac{k - μ}{b}} - c)

aber irgendwie ist der GW blöd

- . -

DrBoogie aktiv_icon

21:28 Uhr, 16.01.2015

Bei Dir ist Vorzeichenfehler, richtig ist

\int_{- \infty}^{μ} c e^{\frac{x - μ}{b}} d x + \int_{μ}^{\infty} c e^{\frac{μ - x}{b}} d x

She-Ra aktiv_icon

21:51 Uhr, 16.01.2015

ja aber wenn ich das mit deinem weiterrechne wird's auch nicht besser...

= lim_{k \to \infty} (\int_{- k}^{μ} c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}} d x + \int_{μ}^{k} c \cdot e^{\frac{- x + μ}{b}} d x) = lim_{k \to \infty} (c - c \cdot e^{\frac{- k - μ}{b}} + c \cdot e^{\frac{- k + μ}{b}} - c) = 0

weiß nicht was ich falsch mache

. .

DrBoogie aktiv_icon

21:59 Uhr, 16.01.2015

Du integrierst falsch. Bzw. was Du da machst, ich weißt gar nicht, wie man das nennt.

Richtig geht es so:

\int_{k}^{μ} c e^{\frac{x - μ}{b}} d x = [c b e^{\frac{x - μ}{b}}]_{k}^{μ} = c b - c b e^{\frac{k - μ}{b}}

und im Grenzwert

k \to - \infty

\int_{- \infty}^{μ} c e^{\frac{x - μ}{b}} d x = lim_{k \to - \infty} \int_{k}^{μ} c e^{\frac{x - μ}{b}} d x = lim_{k \to - \infty} (c b - c b e^{\frac{k - μ}{b}}) = c b

.

Analog für das 2. Integral.

She-Ra aktiv_icon

22:21 Uhr, 16.01.2015

ja sowas hatte ich zwischen durch auch raus, aber ich verstehe NICHT, wieder 2.Teil von deiner Klammer verschwindet? damit nur noch cb übrig bleibt

ok analog das 2.

lim_{k \to \infty} (b \cdot c - b \cdot c \cdot e^{\frac{μ - k}{b}}) =

DrBoogie aktiv_icon

22:24 Uhr, 16.01.2015

Was verstehst Du nicht? Dass

lim_{k \to - \infty} e^{\frac{k - μ}{b}} = 0

für

b > 0

?
Das folgt direkt aus

lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0

She-Ra aktiv_icon

22:35 Uhr, 16.01.2015

ja das macht jetzt Sinn, aber ich glaub mein Kopf ist kaputt, egal ich war von Anfang an nicht ganz richtig in der Aufgabe drin

. .

. jetzt hänge ich seit

10

Stunden an soner Intergralkackee

also habe ich jetzt (cb+bc) und da das ganze Integral gleich 1 werden sollte gilt

(cb+bc)= 2bc

= 1 \to c = \frac{2}{b}

DrBoogie aktiv_icon

22:36 Uhr, 16.01.2015

Ja,

c = 2 / b

She-Ra aktiv_icon

22:43 Uhr, 16.01.2015

natürlich muss ich daneben noch hinschreiben das

b > 0

ist, super

(a)

ist gelöst :-) das war ne schwierige Geburt

- . -

und bei

(b)

kann ich doch schon das von

(a)

benutzen?

DrBoogie aktiv_icon

22:45 Uhr, 16.01.2015

Nun, zum Teil kann man a) in b) benutzen. Aber integrieren musst doch noch.

She-Ra aktiv_icon

22:53 Uhr, 16.01.2015

also berechne ich jetzt das hier

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t,

das sollte ja jetzt nicht mehr so schwer sein

DrBoogie aktiv_icon

22:55 Uhr, 16.01.2015

Das hoffe ich. :-)

She-Ra aktiv_icon

23:34 Uhr, 16.01.2015

Ich versuchs mal damit

F (X) = \int_{- \infty}^{x} c \cdot e^{\frac{- | x - μ |}{b}} d x = lim_{k \to - \infty} \int_{k}^{x} c \cdot e^{\frac{- | x - μ |}{b}} d x = lim_{k \to - \infty} (\int_{k}^{μ} c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}} d x + \int_{μ}^{x} c \cdot e^{\frac{- x + μ}{b}} d x)

= lim_{k \to - \infty} (b \cdot c - b \cdot c \cdot e^{\frac{k - μ}{b}} + b \cdot c - b \cdot c \cdot e^{\frac{μ - x}{b}}) = 2 \cdot b \cdot c \cdot - b \cdot c \cdot e^{\frac{μ - x}{b}} = b \cdot c \cdot (2 - e^{\frac{μ - x}{b}})

hast du das auch?

DrBoogie aktiv_icon

23:42 Uhr, 16.01.2015

Das ist die Formel für

x \geq μ

, für

x < μ

brauchst Du extra Formel.

She-Ra aktiv_icon

23:45 Uhr, 16.01.2015

äää wie bitte? Was meinst du denn jetzt damit? Jetzt werd ich grad unzurechungsfähig

- . -

She-Ra aktiv_icon

23:50 Uhr, 16.01.2015

kann ich das Problem mit den Betragszeichen lösen ?

Also quasi so

F (X) = b \cdot c \cdot (2 - e^{\frac{- | μ - x |}{b}})

oder soll ich das jetzt doch seperat aufschreiben?

Sprich

F (X) = {b \cdot c \cdot (2 - e^{\frac{μ - x}{b}})

für

x \geq μ, b \cdot c \cdot (2 - e^{\frac{- μ + x}{b}})

für

x < μ

DrBoogie aktiv_icon

23:54 Uhr, 16.01.2015

Du hast Deine Berechnung unter der Voraussetzung

x \geq μ

gemacht. Auch wenn Du es nicht bemerkt hast. Wenn

x < μ

, musst Du nicht und kannst Du nicht das Integral in zwei Teilbereiche

(- \infty, μ)

und

(μ, x)

verteilen.

She-Ra aktiv_icon

23:59 Uhr, 16.01.2015

ja stimmt das hab ich außer acht gelassen bei der Bed.

x < μ

macht die Zerlegung keinen Sinn

- . -

also berechne ich einfach nur das Intergral von

k

bis

μ

? weil

x < μ

DrBoogie aktiv_icon

00:09 Uhr, 17.01.2015

Ja, einfach bis

x

She-Ra aktiv_icon

00:23 Uhr, 17.01.2015

dann müsste das so aussehen für

x < μ

ist

F (X) = \int_{- \infty}^{x} c \cdot e^{\frac{- | x - μ |}{b}} d x = lim_{k \to - \infty} (\int_{k}^{x} c \cdot e^{\frac{- x + μ}{b}} d x) = lim_{k \to - \infty} (b \cdot c \cdot e^{\frac{μ - k}{b}} - b \cdot c \cdot e^{\frac{- x + μ}{b}}) = - b \cdot c \cdot e^{\frac{- x + μ}{b}}

ja danke für deine Geduld und gute Nacht

DrBoogie aktiv_icon

10:01 Uhr, 17.01.2015

Nein, da kann kein Minus vorne stehen.
Für

x < μ

gilt

∣ x - μ ∣ = μ - x

, da ist ein Vorzeichenfehler bei Dir.

She-Ra aktiv_icon

10:28 Uhr, 17.01.2015

Morgen,

also so

F (X) = b \cdot c \cdot e^{\frac{μ - x}{b}}

für

x < μ

DrBoogie aktiv_icon

11:02 Uhr, 17.01.2015

Auch nicht.

F (x)

muss auf jeden Fall die Eigenschaft

lim_{x \to - \infty} F (x) = 0

haben, Deine hat sie nicht, weil statt

μ - x

im Exponent in Wirklichkeit

x - μ

stehen muss.

Das Problem ist, dass Du in "Basics" wie z.B. Integration sehr unsicher bist - und das noch milde ausgedrückt. Du musst leider da Einiges nachholen, wenn Du weiter machen willst. Zumindest aus meiner Sicht.

She-Ra aktiv_icon

11:38 Uhr, 17.01.2015

em ich glaub ich hab einfach nur vorhin den Betrag falsch aufgelöst also

| x - μ | = μ - x

aber weil ja noch ein Minus davor steht ist ingesamt

x - μ

und wenn ich das dann integriere erhalte ich entsprechend

lim_{k \to - \infty} (\int_{k}^{x} c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}}) = lim_{k \to - \infty} (b \cdot c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}} - b \cdot c \cdot e^{\frac{k - μ}{b}}) = b \cdot c \cdot e^{\frac{x - μ}{b}}

vielleicht meinst du das so?

hmm ja ich weiß, souverän sieht anders aus

- . -

Aber ich krieg das schon hin

. .

DrBoogie aktiv_icon

15:37 Uhr, 17.01.2015

Ja, jetzt sieht es richtig aus.

She-Ra aktiv_icon

16:20 Uhr, 17.01.2015

Das freut mich

. .

. Vielen Dank noch mal!! :-)

1211461

1211153

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?