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DGL 3. Ordnung - allgemeine Lösung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: allgemeine Lösung der Differentialgleichungen, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Grad

Berntensen

07:59 Uhr, 29.05.2017

Hallo, ich kämpfe mich gerade durch verschiedene Aufgaben zum Thema Differentialgleichungen. Bei folgender bleibe ich allerdings stecken und befürchte ich habe den falschen Ansatz.
Gesucht ist die allgemeine Lösung der folgenden DGL:

y ‴ (t) + y ʺ (t) - 6 y ʹ (t) = e^{- 3 t} * (30 t - 1)

Ich habe zuerst entsprechend das charakteristische Polynom für den homogenen Teil der Lösung aufgestellt und erhalte:

y_{H} (t) = C_{1} * e^{- 3 t} + C_{2} * e^{2 t} + C_{3}

Für die spezielle Lösung habe ich dann aus

e^{- 3 t} * (30 t - 1)

erstmal

- e^{- 3 t} + 30 t e^{- 3 t}

gemacht und dann folgenden Ansatz aufgestellt:

y_{S} (t) = - A e^{- 3 t} + t * B * 30 t e^{- 3 t}

Dies führt mich am Ende des Koeffizientenvergleichs zu keiner Lösung, daher denke ich, ich habe den Ansatz für die spezielle Lösung falsch aufgestellt. Über Tipps und Hilfe würde ich mich freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

09:14 Uhr, 29.05.2017

Hallo,

es liegt daran, dass

- 3

Lösung der charakteristischen Gleichung ist. Statt A*exp(-3*t) musst Du dann A*t*exp(-3*t) ansetzen.

Gruß pwm

Berntensen

10:24 Uhr, 29.05.2017

Danke für deine Antwort. Du meinst, ich müsste meinen Ansatz für den speziellen Teil so aufstellen?

y_{s} (t) = - A * t * e^{- 3 t} + B * 30 t * e^{- 3 t}

pwmeyer aktiv_icon

10:31 Uhr, 29.05.2017

Hallo,

Ansatz:

y (t) = t \cdot [e x p (- 3 \cdot t) \cdot (A + B \cdot t)]

Gruß pwm

Berntensen

11:54 Uhr, 29.05.2017

OK, mit diesem Ansatz:

t * (e^{- 3 t} * (A + B * t))

, komme ich nach der ganzen Rechnerei auf

A = B = 1

und erhalte als Gesamtlösung:

y (t) = C_{1} * e^{- 3 t} + C_{2} * e^{2 t} + C_{3} + t^{2} * e^{- 3 t} + t * e^{- 3 t}

Sieht auf jeden Fall erstmal besser aus, als das was ich bisher immer errechnet hatte. Stehe allerdings nun noch vor 2 Problemen:

1. Ich kann noch nicht so richtig nachvollziehen, wie du deinen Ansatz "zusammen gestellt" hast. Könntest du dies bitte etwas ausführlicher erklären?

2. Ich habe die Lösung mal mit Wolfram Alpha überprüft und erhalte ein etwas anderes Ergebnis:

y (t) = \frac{1}{30} C_{1} * e^{- 3 t} + \frac{1}{30} C_{2} * e^{2 t} + C_{3} + t^{2} * e^{- 3 t} + t * e^{- 3 t}

Irgendwo muss ich demnach also noch einen Fehler drinnen haben.

Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe!

pwmeyer aktiv_icon

12:01 Uhr, 29.05.2017

Hallo,

ich habe den "normalen Ansatz" für die gegebene rechte Seite genommen und diesen mit

t

multipliziert, weil eben

e x p (- 3 \cdot t)

auch Lösung der homogenen Gleichung ist.

Im Netz findest Du unter "linear Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten" mehrere Seiten, die das allgemein erläutern.

Zum Vergleich der beiden Lösungen: Die

C_{i}

sind jeweils beliebige Konstanten. Ob ich

c

oder

\frac{c}{30}

schreibe ist doch egal, wenn

c

ohnehin beliebig ist.

Gruß pwm

Berntensen

13:45 Uhr, 29.05.2017

Jetzt nachdem ich mich nochmal ein wenig belesen habe, gerade in puncto "Resonanz" ist es mir nun einiges klarer. Mit den Konstanten hast du natürlich Recht.
Vielen Dank für deine Hilfe!

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