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DGL: Maximal-Lösung berechnen, nur wie?

Universität / Fachhochschule

Tags: DGL, Differentialgleichung, Logistische Gleichung, maximale Lösung

Sunny92 aktiv_icon

17:19 Uhr, 29.11.2013

Hallo Leute,

habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Berechnen sie die maximalen Lösungen des AWP in den Fällen

x_{0} < 0

und

0 < x_{0} < 1

, sowie

x_{0} > 1

\dot{x} = x (1 - x)

mit der Anfangsbedingung

x (t = 0) = x_{0}

Mein Ansatz: "Trennung der Variablen"

φ (t)

nenne ich meine Lösung

\frac{d x}{d t} = x (1 - x) < = > \int_{t = 0}^{t} d t = \int_{x_{0}}^{φ (t)} d x \frac{1}{x (1 - x)}

Da habe ich dann die Integrale gelöst und nach

φ (t)

umgestellt:

φ (t) = \frac{x_{0}}{x_{0} + e^{- t} \cdot (1 - x_{0})}

Man sieht, dass

φ (t)

für

t = \tilde{t} = - l n (\frac{x_{0}}{x_{0} - 1})

nicht definiert ist, da man "durch 0 teilen" würde.
Das

φ

ist also für alle

t

definiert, außer eben für

t = \tilde{t} .

Wie komme ich jetzt an die Maximal-Lösungen?

Danke und Grüße
Sunny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sunny92 aktiv_icon

17:34 Uhr, 30.11.2013

Kann mir keiner Helfen und mir sagen, wie ich an die Maximal-Lösung komme?

ARTMath100 aktiv_icon

08:36 Uhr, 01.12.2013

Fallunterscheidung mit den o.a. 3 Fällen und so die maximalen Intervalle für t bestimmen!

Mir scheint allerdings: Bereits beim Integrieren ist ein Fehler aufgetreten!

Hinweis:

$\int \frac{1}{x \cdot (1 - x)} d x = \ln | \frac{x}{1 - x} |$ !!!!!

Damit ist bereits an dieser Stelle Fallunterscheidung in Abhängigkeit von x fällig! Diese Fälle korrespondieren mit den o.a, Fällen für x_0. Wir betrachten also Lösungen auf t-Intervallen, deren Funktionswerte in Umgebungen von x_0 liegen

Leider im Moment keine Zeit mich intensiver mit der Aufgabe zu befassen!

Sunny92 aktiv_icon

09:24 Uhr, 01.12.2013

Danke für deine Antwort…

An den Betrag habe ich gedacht. Allerdings gibt es dann ja nur zwei Fälle, die durch den Nenner des Logarithmus kommen. Dabei ergibt sich aber leider beide male das gleiche Ergebnis…

Hat jemand evtl. die Zeit meine Aufgabe nachzurechnen?

Grüße
Sunny

ARTMath100 aktiv_icon

11:04 Uhr, 01.12.2013

$x < 0 :$

$\frac{x}{1 - x} < 0 \Rightarrow \frac{x}{1 - x} = - K \cdot e^{t}$

$x (t) = - \frac{K e^{t}}{1 - K e^{t}} = - \frac{1}{K^{- 1} e^{- t} - 1}$

mit AWB:

$K = - \frac{x_{0}}{1 - x_{0}}$

Damit:

$x (t) = - \frac{x_{0}}{(1 - x_{0}) e^{- t} + x_{0}} = - \frac{1}{\frac{1 - x_{0}}{x_{0}} e^{- t} + 1}$

und ich komme auf Dein Ergebnis:

Maximallösung für $x_{0} < 0 :$

Da wir vorausgesetzt haben, das x<0:

muss jetzt gelten:

$- \frac{x_{0}}{(1 - x_{0}) e^{- t} + x_{0}} < 0$

$\Rightarrow (1 - x_{0}) e^{- t} + x_{0} < 0$

$\Leftrightarrow t > - \ln (- \frac{x_{0}}{1 - x_{0}})$

Analog gehen wir bei den anderen Fällen vor.

Für $x_{0} > 1$ erhalten wir die gleiche Funktion:

$x (t) = - \frac{x_{0}}{(1 - x_{0}) e^{- t} + x_{0}} = - \frac{1}{\frac{1 - x_{0}}{x_{0}} e^{- t} + 1}$

allerdings muss jetzt gelten:

$0 > \frac{1 - x_{0}}{x_{0}} e^{- t} + 1 > - 1$

usw.

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