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DGL-System 2. Ordnung lösen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Bayro aktiv_icon

15:38 Uhr, 09.03.2018

Hallo Leute,

ich soll folgendes DGLS lösen:

2 f^{''} + g^{''} + 2 c^{2} f = 0, f^{''} + g^{''} + c^{2} g^{'} = 0

Ich habe dieses System 2. Ordnung dann folgender Weise in ein DGL erster Ordnung umgeformt:

y_{1} = f, y_{2} = g, y_{3} = f' y_{4} = g'

y_{1}^{'} = y_{3}, y_{2}^{'} = y_{4}, y_{3}^{'} = - 2 c^{2} y_{1} + c^{2} y_{2}, y_{4}^{'} = 2 c^{2} y_{1} - 2 c^{2} y_{2}

Für die Eigenwerte erhalte ich

λ = \pm i \sqrt{2} \cdot c

Bei der Bestimmung der Eigenvektoren erhalte ich aber keine Lösung. Dort gilt für alle Eigenwerte der Nullvektor als einzige Lösung. Das kann aber nicht sein. Die Aufgabe beschreibt ein Doppelpendel mit gleichen Massen und gleichen Längen sowie kleinen Auslenkungen

(sin x = x)

. Und soweit ich weiß muss dort eine Lösung existieren. Habe ich vielleicht irgendwo einen Fehler gemacht?

Mit freundlichen Grüßen
Bayro

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:58 Uhr, 09.03.2018

Ja, irgendwo einen Fehler gemacht.
Aber bevor Du ihn suchst - es gibt doch die Möglichkeit, das Ganze deutlich zu vereinfachen, indem man eine Gleichung von der anderen abzieht.
Es kommt

f ʺ + 2 c^{2} f = c^{2} g^{ʹ}

raus, woraus

g ʺ = 2 f^{ʹ} + f ‴ / c^{2}

folgt.
Eingesetzt in die 1. Gleichung, hast dann

f ‴ / c^{2} + 2 f ʺ + 2 f^{ʹ} + c^{2} f = 0

, also musst Dich nicht mit einem System herumschlagen.
Die Nullstellen von

x^{3} / c^{2} + 2 x^{2} + 2 x + c^{2}

kennst Du ja schon (zumindest zwei davon).

Bayro aktiv_icon

17:16 Uhr, 09.03.2018

Das stimmt. Das macht es sehr viel einfacher. Ich muss aber sagen, dass ich wirklich gerne meinen Fehler finden würde. Ich habe mal meine Rechnung als pdf hier mal angefügt. Vielleicht noch zur Analogie:

ϕ_{1} = f, ϕ_{2} = g, ψ_{k} = y_{k} ω_{0}^{2} = c^{2}

DrBoogie aktiv_icon

17:19 Uhr, 09.03.2018

Bei der Bestimmung der Eigenvektoren musst Du

(M - λ E) b = 0

mit einem KONKRETEN Wert von

λ

lösen. Es existieren keine "Eigenvektoren an sich", ein Eigenvektor gehört immer zu einem bestimmten Eigenwert.

Bayro aktiv_icon

17:23 Uhr, 09.03.2018

Das ist mir klar. Aber unabhängig welchen Eigenwert ich verwende, die Klammer

(2 c^{2} + λ^{2})

wird immer Null. Dadurch muss

b_{1} = 0

und

b_{2} = 0

sein. Und Daraus folgt

b_{3} = 0

und

b_{4} = 0

DrBoogie aktiv_icon

17:30 Uhr, 09.03.2018

Was soll denn

c

sein?

Und beachte, dass

λ^{2} < 0

in Deinem Fall.

Bayro aktiv_icon

17:38 Uhr, 09.03.2018

c = ω_{0}

Ich habe ja 4 Gleichungen:

- λ b_{1} + b_{3} = 0, - λ b_{2} + b_{4} = 0, - 2 c^{2} b_{1} + c^{2} b_{2} - λ b_{3} = 0, 2 c^{2} b_{1} - 2 c^{2} b_{2} - λ b_{4} = 0

Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich:

b_{3} = λ b_{1}, b_{4} = λ b_{2}

Und eingesetzt in die anderen beiden Gleichungen:

- (2 c^{2} + λ^{2}) b_{1} + c^{2} b_{2} = 0, 2 c^{2} b_{1} - (2 c^{2} + λ^{2}) b_{2} = 0

Und mit

λ = \pm i \sqrt{2}

ist diese Klammer immer Null.

DrBoogie aktiv_icon

19:18 Uhr, 09.03.2018

Dein charakteristisches Polynom ist falsch. Richtig wäre

λ^{4} + 4 λ^{2} c^{2} + 2 c^{4}

.
Nullstellen sind auch falsch.

Solche Sachen kann man z.B. hier prüfen:
http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm
Man muss natürlich einen bestimmten Wert von

c

dafür wählen.

Bayro aktiv_icon

19:48 Uhr, 09.03.2018

Ahh. Danke! Damit passt jetzt alles.

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