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DGL durch substitution

Schüler

Tags: DGL

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09:02 Uhr, 18.04.2013

Hallo leute ich brauche gerade hilfe bei einer AUfgabe:

Bestimmen sie die allg. Lösung nachfolgender Dgl durch Substitution:

x^{2} \cdot y' - 3 y^{2} - x \cdot y = 0

Mein erster Schritt durch

x^{2}

y' - {(\frac{3 y}{x})}^{2} - \frac{y}{x} = 0

Kann ich als substitution

\frac{y}{x}

nehmen ?

Dann hätte ich:

y' - 3 z^{2} - z = 0

y' = 3 z^{2} + z

auf beiden Seiten integriert:

y = z^{3} + \frac{1}{2} z^{2} + C

WIe gehe ich weiter vor?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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09:17 Uhr, 18.04.2013

Hallo!

Die 3 muss aus der Klammer, aber das nur am Rande.

Ja, bring die Gleichung auf die Form

y' = f (\frac{y}{x})

und substituiere

z (x) = \frac{y}{x}

(Ähnlichkeitsdifferentialgleichung)

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09:25 Uhr, 18.04.2013

Langsam - nicht gleich integrieren :-)

z (x) = \frac{y}{x}

y = z \cdot x

y' = z + z' \cdot x

(Produktregel)

Damit:

z + z' \cdot x = 3 z^{2} + z

z' \cdot x = 3 z^{2}

Diese Gleichung jetzt mit Trennung der Variablen lösen und anschließend Rücksubstitution

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09:32 Uhr, 18.04.2013

Integriert bekomme ich das :

- \frac{1}{3 z^{2}} = ln (| x |) + C

FAlls das stimmt , wie gehe ich weiter vor?

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09:37 Uhr, 18.04.2013

Passt nicht ganz. Nach der Trennung der Variablen hast Du doch:

\int \frac{1}{3 z^{2}} d z = \int \frac{1}{x} d x

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09:38 Uhr, 18.04.2013

Stimmt das ?

- \frac{1}{3 z} = ln (| x |) + C

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09:48 Uhr, 18.04.2013

Nein, immer noch nicht...

\frac{1}{3} z^{- 2}

hochintegriert gibt...?

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09:57 Uhr, 18.04.2013

Aha, jetzt hast Du Dein Ergebnis editiert. Ja, so stimmt's...

Jetzt Rücksubstitution:

y (x) = z (x) \cdot x

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10:27 Uhr, 18.04.2013

Rücksubstituiert wäre das :

- \frac{x}{3 y} = ln (| x |) + c

Soll ich jetzt nach

C

auflösen?

- \frac{x}{3 y \cdot ln (| x |)} = c

Was mache ich als nächstes ?

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10:34 Uhr, 18.04.2013

Nein, die Konstante ist doch unwichtig. Du möchtest

y (x)

haben!

- \frac{1}{3 z} = ln | x | + C

z (x) = \frac{1}{- 3 ln | x | - 3 C}

Rücksubstitution

y (x) = z (x) \cdot x

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10:38 Uhr, 18.04.2013

Ich bin leider ganz verwirrt im Moment .

Ist meine rücksubtitution richtig?

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10:43 Uhr, 18.04.2013

Äh jetzt verstehe ich es , du hast die Gleichung nach

y

aufgelöst . War glaub ich kurz wo anders .

Was mache ich als nächstes ?

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10:47 Uhr, 18.04.2013

Was willst Du denn noch machen? Wenn Du

y (x)

hast, ist die Aufgabe doch gelöst ;-).

y (x) = z (x) \cdot x = \frac{x}{- 3 ln | x | - 3 C} = \frac{x}{- 3 ln | x | + C 1}

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10:51 Uhr, 18.04.2013

Cool danke. Vielleicht kannst du mir direkt bei der nächsten Aufgabe helfen:

y' = \frac{x}{2} + y

Was soll ich hier als Substitution nehmen ?

Gleiche Aufgabenstellung.

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11:18 Uhr, 18.04.2013

Ansatz: Betrachte die DGL als inhomogene lineare DGL 1. Ordnung:

y' - y = \frac{x}{2}

Homogene DGL:

y' - y = 0

(Lösen durch Trennung der Variablen)

Dann die Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten bestimmen.

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11:23 Uhr, 18.04.2013

Gut dann wäre das:

- \frac{1}{2} \cdot y^{2} + c

als erste Lösung .

Was mache ich als nächstes ?

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11:24 Uhr, 18.04.2013

Wie kommst Du auf diese Lösung? Schreib bitte mal die einzelnen Schritte hin!

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11:27 Uhr, 18.04.2013

Ich habe das

- y

integriert

= - \frac{1}{2} \cdot y^{2} + c

Was ist falsch?

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11:32 Uhr, 18.04.2013

"Trennung der Variablen" kennst Du, oder?

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12:05 Uhr, 18.04.2013

Ah ich glaub ich hab's:

- \frac{1}{2 \cdot y^{2}} = x + C

y^{2} = - \frac{1}{2 \cdot x}

Wie gehe ich weiter vor ?

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12:09 Uhr, 18.04.2013

Mir scheint, dass Du ziemlich im Nebel rumstocherst. Beantworte doch mal die Fragen, die ich Dir so zwischendurch stelle. Also nochmal: wir suchen zunächst die Lösung der homogenen DGL

y' - y = 0

\frac{d y}{d x} - y = 0

Jetzt versuche mal die Variablen

y

und

x

zu trennen und das Ding zu lösen.

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21:08 Uhr, 19.04.2013

Ok ich habe mittlerweile ein wenig gerechnet und stecke wieder fest.

Hier mein Ansatz soweit:

homogene Dgl:

y' - y = 0

Integriert beide seiten:

| y | = e^{x} \cdot e^{c}

Partikuläre Lösung:

y_{p} = k (x) \cdot e^{x}

y_{p}' = k' (x) \cdot e^{x} + e^{x} \cdot k (x)

Nun in die Dgl eingesetzt?

k' \cdot e^{x} + e^{x} \cdot k - k \cdot e^{x} - \frac{1}{2} - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}

k' \cdot e^{x} - \frac{1}{2} - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}

Falls das richtig ist , was muss ich genau als nächstes machen?

aztli aktiv_icon

01:27 Uhr, 19.12.2015

Nachfolgende Bild enthält Gedankenfolge und Resultat.

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