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Darstellungsmatrix Polynome

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Körper

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Körper

Bernd97 aktiv_icon

13:11 Uhr, 03.05.2017

Hallo!
Wie bestimme ich hier die Darstellungsmatrix

M_{A}^{A} (f)

? Habe leider keine Ahnung wie ich das angehen soll. In der Vorlesung war es leider nicht gut besprochen...

Wir betrachten den RR-Vektorraum

ℝ {[X]}_{3},

der Polynome in der Unbestimmten

X

vom Grad

\leq 3

. Weiter seien

A = (1, X, X^{2}, X^{3})

und

B = (2, - 1 + X,3 - 2 X + 4 X^{2}, - 2 - 4 X + X^{2} - 3 X^{3})

. Sie können ohne Beweis annehmen dass A und

B

Basen von

ℝ {[X]}_{3}

sind. Wir betrachten die lineare Abbildung:

f : ℝ {[X]}_{3} \to ℝ {[X]}_{3}, \sum_{i = 0}^{3} a_{i} X^{i} \mapsto \sum_{i = 0}^{3} a_{i} {(- 1 + 4 X)}^{i} (a_{0}, ..., a_{3} \in ℝ)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

ledum aktiv_icon

13:18 Uhr, 03.05.2017

Hallo
die Spalten der Matrix sind die Komponenten-spalten der Basisvektoren. du suchst also nur die Bilder deiner Basisvektoren.
die zweite Spalte deiner Matrix ist also

z . B, {(- 1,4,0,0)}^{T}

Gruß ledum

Fate3 aktiv_icon

19:16 Uhr, 04.05.2017

Ich verstehe leider nicht, wie du vorgegangen bist, um darauf zu kommen.

Setzt man für

M_{A}^{A} (f)

den ersten Wert ein (1)

:

f (1) = \sum_{i = 0}^{3} a_{i} {(- 1 + 4 \cdot 1)}^{i} = \sum_{i = 0}^{3} a_{i} {(3)}^{i} = a_{0} + 3 a_{1} + 9 a_{2} + 81 a_{3}

Habe ich hier bereits einen Fehler gemacht? Wie geht es ansonsten weiter?

tobit aktiv_icon

19:58 Uhr, 04.05.2017

Hallo Fate3!

(Was meinst du mit

a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}

für Zahlen?)

Du hast

(f (\sum_{i = 0}^{3} a_{i} X^{i})) (1)

berechnet, also zunächst das Polynom

f (\sum_{i = 0}^{3} a_{i} X^{i})

berechnet und dann die Zahl 1 in dieses Polynom eingesetzt.

Berechnen sollst du vielmehr das Polynom

f (1) \in ℝ [X]

.

Verwende dazu

1 = 1 * X^{0} = \sum_{i = 0}^{3} a_{i} X^{i}

mit

a_{0} = 1

und

a_{i} = 0

für

i > 0

.

Viele Grüße
Tobias

help96 aktiv_icon

20:21 Uhr, 04.05.2017

Muss man für die Darstellungsmatrix

f (1), f (X), f (X^{2}), f (X^{3})

ausrechnen ?
wie bekomme ich dann genau die matrix raus ?

Bernd97 aktiv_icon

20:38 Uhr, 04.05.2017

Das Frage ich mich auch

tobit aktiv_icon

21:00 Uhr, 04.05.2017

(Ermittelt werden soll die Darstellungsmatrix von f bezüglich A und A?
D.h. bei dieser Aufgabe spielt die Basis B überhaupt keine Rolle?
Oder handelt es sich im Ausgangspost um einen Tippfehler?)

Ja, zur Ermittlung der Darstellungsmatrix bezüglich der Basen A und A sind zunächst

f (1), f (X), f (X^{2}), f (X^{3})

zu bestimmen.

Aus diesen vier Polynomen lassen sich dann die vier Spalten der gesuchten Matrix bestimmen:
Z.B. die zweite Spalte der gesuchten Darstellungsmatrix ist durch den Vektor

(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}) \in ℝ^{4}

gegeben, der

f (X)

bezüglich

A

darstellt, also den (eindeutig bestimmten) Vektor

(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}) \in ℝ^{4}

mit

f (X) = b_{1} * 1 + b_{2} * X + b_{3} * X^{2} + b_{4} * X^{3}

.

Ich schlage vor, ihr bestimmt erst einmal die Polynome

f (1), f (X), f (X^{2}), f (X^{3})

und postet eure Ergebnisse.

help96 aktiv_icon

21:07 Uhr, 04.05.2017

Okay fangen wir mit

f (1), f (X), f (X^{2}), f (X^{3})

f (1) = a_{0} {(- 1 + 4 X)}^{0} = a_{0}

? oder mach ich hierbei schon was falsch
diese summe von polynomen verwirrt mich echt dass ich nicht weiterkomme..

tobit aktiv_icon

21:18 Uhr, 04.05.2017

Da es Verständnis-Schwierigkeiten zu geben scheint, wie die Funktion f definiert ist, schreibe ich sie nochmal aus: Sie ordnet jedem reellen Polynom vom Grad

\leq 3

wieder ein Polynom vom Grad

\leq 3

zu, und zwar gemäß der Vorschrift

f (a_{0} * X^{0} + a_{1} * X^{1} + a_{2} * X^{2} + a_{3} * X^{3}) := a_{0} * (- 1 + 4 X)^{0} + a_{1} * (- 1 + 4 X)^{1} + a_{2} * (- 1 + 4 X)^{2} + a_{3} * (- 1 + 4 X)^{3}

.

für alle

a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in ℝ

.

@ help96

Das stimmt, wenn du

a_{0} = 1

meinst.

Ausführlicher:

f (1) = f (1 * X^{0} + 0 * X^{1} + 0 * X^{2} + 0 * X^{3}) = 1 * (- 1 + 4 X)^{0} + 0 * (- 1 + 4 X)^{1} + 0 * (- 1 + 4 X)^{2} + 0 * (- 1 + 4 X)^{3} = 1

tobit aktiv_icon

21:27 Uhr, 04.05.2017

Um nun mittels der Erkenntnis

f (1) = 1

die erste Spalte der gesuchten Matrix zu ermitteln, stellen wir das Polynom 1 bezüglich der Basis

A = (1, X, X^{2}, X^{3})

dar:

Es gilt

f (1) = 1 = 1 * 1 + 0 * X + 0 * X^{2} + 0 * X^{3}

, also ist die erste Spalte der gesuchten Matrix gegeben durch den Vektor

(1, 0, 0, 0) \in ℝ^{4}

, der "senkrecht als Spaltenvektor" in die Matrix zu schreiben ist:

(\begin{array}{rcl} 1 & ? & ? & ? \\ 0 & ? & ? & ? \\ 0 & ? & ? & ? \\ 0 & ? & ? & ? \end{array})

Fate3 aktiv_icon

21:59 Uhr, 04.05.2017

Damit hätte ich als Darstellungsmatrix

M_{A}^{A} (f) = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 4 & - 8 & 12 \\ 0 & 0 & 16 & - 48 \\ 0 & 0 & 0 & 64 \end{matrix})

Wenn das nun stimmt, wie sehe das bei

M_{A}^{B}

(id) und

M_{B}^{A}

(id) aus ?

tobit aktiv_icon

22:41 Uhr, 04.05.2017

@ Fate3:

Perfekt, genau diese Matrix habe ich auch heraus!

Zunächst zu

M_{A}^{B} (f)

:

Zu bestimmen sind nun die Polynome

f (2), f (- 1 + X), f (3 - 2 X + 4 X^{2}), f (- 2 - 4 X + X^{2} - 3 X^{3})

.

Dann sind die vier so erhaltenen Polynome wieder bezüglich der Basis

A

darzustellen.

So erhaltet ihr die vier Spalten von

M_{A}^{B} (f)

.

Zu

M_{B}^{A} (f)

:

Die Polynome

f (1), f (X), f (X^{2}), f (X^{3})

habt ihr ja schon bestimmt.

Dann sind diese Polynome diesmal bezüglich der Basis B darzustellen (was komplizierter ist als die Darstellung bezüglich der Basis A).

Etwa die erste Spalte der Matrix

M_{B}^{A} (f)

ist gegeben durch den Vektor

(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}) \in ℝ^{4}

mit

1 = f (1) = b_{1} * 2 + b_{2} * (- 1 + X) + b_{3} * (3 - 2 X + 4 X^{2}) + b_{4} * (- 2 - 4 X + X^{2} - 3 X^{3})

,

also den Vektor

(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}) = (½, 0, 0, 0) \in ℝ^{4}

.

(Bitte kontrolliert meine Angaben sicherheitshalber auf eventuelle Tippfehler, anstatt sie ungeprüft zu übernehmen.)

(Es gibt sicherlich elegantere Wege als die direkten und naheliegenden, die ich vorgeschlagen habe (z.B. mittels Basiswechselmatrizen). Aber zum vertraut Werden mit den Begriffen finde ich den direkten Weg günstiger.)

tobit aktiv_icon

22:44 Uhr, 04.05.2017

Sorry, ich habe mich verlesen.

Offenbar geht es um die darstellenden Matrizen von

i d_{ℝ [X]_{3}}

statt von

f

.
(Also um die Basiswechselmatrizen zwischen A und B).

Ich schreibe gleich eine neue Antwort dazu.

tobit aktiv_icon

22:57 Uhr, 04.05.2017

M_{A}^{B} (i d)

:

Um wie üblich vorzugehen: Bestimmt zunächst

i d (p)

für die vier Polynome

p

der Basis

B

.
Dazu ist nichts weiter zu tun: Es gilt natürlich jeweils

i d (p) = p

nach Definition von id.

Die erhaltenen vier Polynome (also die vier Polynome der Basis B) sind dann bezüglich der Basis A darzustellen, um die vier Spalten von

M_{A}^{B} (i d)

zu erhalten.
(Wie ihr Polynomen bezüglich A darstellen könnt, habt ihr ja schon bei der Bestimmung von

M_{A}^{A} (f)

gesehen.)

Zu

M_{B}^{A} (i d)

:

Möglichkeit 1:

Verwendet den üblichen direkten Weg, den ich jetzt an ein paar Beispielen beschrieben habe. Er ist hier etwas komplizierter, da Polynome bezüglich B statt bezüglich A darzustellen sind.

Möglichkeit 2:

Ist bereits bekannt, dass Basiswechselmatrizen

M_{A}^{B} (i d)

invertierbar sind und

(M_{A}^{B} (i d))^{- 1} = M_{B}^{A} (i d)

gilt?
Kennt ihr ein Verfahren zum Invertieren einer invertierbaren Matrix?

Gibt es noch weitere Aufgabenteile?

Fate3 aktiv_icon

23:01 Uhr, 04.05.2017

M_{A}^{B}

(id) :
id

(2) = 2 = 2 a_{1}

(- 1 + x) = - 1 + x = - a_{1} + a_{2}

(3 - 2 x + 4 x^{2}) = 3 - 2 x + 4 x^{2} = 3 a_{1} - 2 a_{2} + 4 a_{3}

(- 2 - 4 x + x^{2} - 3 x^{3}) = - 2 - 4 x + x^{2} - 3 x^{3} = - 2 a_{1} - 4 a_{2} + a_{3} - 3 a_{4}

M_{A}^{B}

(id)

= (\begin{matrix} 2 & - 1 & 3 & - 2 \\ 0 & 1 & - 2 & - 4 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{matrix})

M_{B}^{A}

(id):
id (1)

= 1 = \frac{1}{2} b_{1}

id (x)

= x = \frac{1}{2} b_{1} + 1 \cdot b_{2}

(x^{2}) = x^{2} = - \frac{1}{8} b_{1} + \frac{1}{2} b_{2} + \frac{1}{4} b_{3}

(x^{3}) = x^{3} = - \frac{25}{24} b_{1} - \frac{7}{6} b_{2} + \frac{1}{12} b_{3} + \frac{1}{3} b_{4}

M_{B}^{A}

(id)

= (\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} & - \frac{25}{24} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{7}{6} \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{12} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{matrix})

tobit aktiv_icon

23:27 Uhr, 04.05.2017

@ Fate3

Herzlichen Glückwunsch!

Lediglich bei der Darstellung von

X^{3}

bezüglich der Basis

B

muss es hinten

- ⅓ b_{4}

statt

+ ⅓ b_{4}

heißen.
Entsprechend lautet der Eintrag ganz rechts unten in der Matrix

M_{B}^{A} (i d)

korrekt

- ⅓

statt

⅓

.

Ansonsten alles richtig!

Du hast weniger Rechenfehler als ich produziert... ;-)

Für alle anderen: Fate3 verwendet die Bezeichnungen

a_{1}, \dots, a_{4}

und

b_{1}, \dots, b_{4}

in einer anderen Bedeutung als ich, nämlich für die Polynome der Basis A bzw. der Basis B.

Bernd97 aktiv_icon

16:57 Uhr, 05.05.2017

Danke

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