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Darstellungsmatrix bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: darstellende Matrix, darstellungsmatrix

Steve2309 aktiv_icon

10:52 Uhr, 04.01.2021

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe

(s

. Foto).

Zur

a)

Um eine Darstellungsmatrix zu bestimmen, soll man doch zunächst die Basisvektoren aus

B 1

angeben. Da habe ich zunächst (1x,xhoch2,xhoch3), da

p (x)

auf

x

mal

p (x)

abbildet. Nun soll man ja die Bildvektoren als Linearkombination der Basiselemente aus

B 2

darstellen. Also muss man jeweils

1 x,

xhoch2, xhoch3 durch eine Lin. Kombination mit

B 2

darstellen. Wie mache ich das? Danach muss man ja nur noch die Koeffizienten in eine Matrix eintragen und man ist fertig.

Ich weiss nur nicht, wie ich auf die lin. Kombination komme. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:01 Uhr, 04.01.2021

Was ist

B_{1}

und

B_{2}

?

Z.B. für

M_{B}^{B}

musst du Vektoren aus

B

nehmen, das sind im Ausgangsraum

1, x

und

x^{2}

und dann

φ (1)

φ (x)

und

φ (x^{2})

bzgl.

B

im Zielraum darstellen.

B

im Zielraum ist

1, x, x^{2}

und

x^{3}

.
Es ist klar, dass

φ (1) = x = 0 \cdot 1 + 1 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x^{3}

, also die erste Spalte der Matrix ist

0, 1, 0, 0

.
Genauso

φ (x) = x^{2} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 1 \cdot x^{2} + 0 \cdot x^{3}

, also die zweite Spalte der Matrix ist

0, 0, 1, 0

.
Insgesamt bekommst die Matrix
000
100
010
001

M_{C}^{B}

ist bisschen komplizierter, aber von der Idee her gleich.

Steve2309 aktiv_icon

11:08 Uhr, 04.01.2021

Danke,

aber warum muss man noch die xhoch3 berücksichtigen?

Steve2309 aktiv_icon

11:13 Uhr, 04.01.2021

Und warum ist da bei der Darstellungsmatrix noch eine Nullreihe? Woher kommt die? Ebenfalls verstehe ich nicht, warum die 1 noch im Zielraum ist. Wenn man 1 aus dem Ausgangsraum abbildet erhält man doch x?

DrBoogie aktiv_icon

11:41 Uhr, 04.01.2021

"Und warum ist da bei der Darstellungsmatrix noch eine Nullreihe? Woher kommt die?"

Sie kommt daher, dass der Basisvektor

1

aus dem Zielraum nicht im Bild der Abbildung liegt. Egal welchen Vektor man nimmt, die Nullzeile sorgt dafür, dass das Bild dess Vektor unter der Wirkung dieser Matrix die 1. Komponente 0 hat, also keinen konstanten Term. Was auch logisch ist, denn

x p (x)

hat nie einen konstanten Term.

Allgemein: die Matrix einer Abbildung aus einem 3-dimensionalen Raum in einen 4-dimensionalen hat die Form

3 \times 4

. Also 4 Zeilen und drei Spalten. Denn du musst die Matrix auf 3-dimensionalen Vektoren anwenden und das Ergebnis muss 4-dimensional sein.

"Ebenfalls verstehe ich nicht, warum die 1 noch im Zielraum ist. Wenn man 1 aus dem Ausgangsraum abbildet erhält man doch x?"

Kennst du den Unterschied zwischen Zielraum und Bild nicht? Der Zielraum ist der Vektorraum, der in der Definition der Abbildung steht. Das Bild ist die Menge der Werte, die die Abbildung tatsächlich annimmt. Das Bild liegt im Zielraum, kann aber auch kleiner sein oder sogar viel kleiner. Z.B. bei der Nullabbildung ist Bild nur der Nullvektor.

Steve2309 aktiv_icon

11:48 Uhr, 04.01.2021

Ach so verstehe, danke.

Bei der

b

muss man also irgendwie 1,,x,xhoch2,xhoch3 durch

C

lin. kombinieren, oder?

DrBoogie aktiv_icon

11:53 Uhr, 04.01.2021

Ja, aber das geht recht einfach:

x = (x + 1) - 1

x^{2} = (x + 1)^{2} - 2 (x + 1) + 1

x^{3} = (x + 1)^{3} - 3 (x + 1)^{2} + 3 (x + 1) - 1

Steve2309 aktiv_icon

11:58 Uhr, 04.01.2021

Gibt es eig. ein bestimmtes vorgehen beim aufstellen von linearkombinationen? Ich habe nämlich bei einer anderen Aufgabe

(s

. Foto Aufgabe

a)

den Fall, dass ich

3 x 1

Matrizen habe, die ich linear kombinieren muss.

DrBoogie aktiv_icon

12:06 Uhr, 04.01.2021

Eigentlich sind das Vektoren, keine Matrizen.

Man schreibt eine Gleichung mit unbekannten Koeffizienten und berechnet sei dann.
Wenn ich z.B.

e_{2} = (0, 1, 0)

als eine lin. Kombi von

c_{1}, c_{2}, c_{3}

darstellen will, dann schreibe ich

e_{2} = a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{2} c_{3}

(0, 1, 0) = a_{1} (1, 0, 0) + a_{2} (1, - 1, 0) + a_{3} (1, - 1, - 1)

, das ergibt 3 Gleichungen

0 = a_{1} + a_{2} + a_{3}

1 = - a_{2} - a_{3}

0 = - a_{3}

Aus der letzten folgt

a_{3} = 0

, aus der vorletzten dann

a_{2} = - 1

und dann aus der ersten

a_{1} = 1

.
Also haben

e_{2} = c_{1} - c_{2}

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