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Darstellungsmatrix finden

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Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: darstellungsmatrix, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Vektorraum

KikiS

19:20 Uhr, 26.02.2018

Guten Abend zusammen :-)
Ich brauche ein bisschen Hilfe bei einer bestimmt leichten Aufgabe.

Sei

V = M_{2 x 2} (ℝ)

der

ℝ -

Vektorraum der

2 x 2

Matrizen mit reelen Einträgen und sei

A = (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4})

die Basis

v_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), v_{3} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), v_{4} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

für V.
Sei

M \in V

die Matrix

M = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

. Wir betrachten die

ℝ

-lineare Abbildung

f : V \to V,

die durch die Formel

f (B) = B \cdot M - M \cdot B

für

B \in M_{2 x 2} (ℝ)

definiert ist. Hier sind

M \cdot B

und

B \cdot M

die gewöhnlichen Matrixprodukte.

a)

Berechne die Matrix

f ((\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}))

.

Als Ergebnis bekomme ich

f (...) = (\begin{matrix} - b - c & a - d \\ - d + a & c + b \end{matrix})

. So weit so gut.

b)

Berechnen Sie die Darstellungsmatrix

M_{A}^{A} (f)

.

Hier hab ich mein Problem. Ich weiß, wie ich eine Darstellungsmatrix bilde, aber habe die Basen nie als

2 x 2

Matrizen gehabt und mit der "Selbstabbildung" weiß ich leider nicht weiter. Sonst hatte ich immer

z . B

. Aufgaben wie

f : V \to W

und halt Basen

v_{1} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

und

w_{1} = (\begin{matrix} t \\ z \\ u \end{matrix}),

womit ich halt sehr gut rechnen kann.

Ich bedanke mich für Eure Hilfe im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

21:39 Uhr, 26.02.2018

Hallo,

was du verstehen musst, ist der Gebrauch einer geordneten Basis bzw. eines Koordinatenvektors.
Ich will dir die Sache an Polynomen vom Grad

\leq 2

erklären.
Du würdest meist

p (x) = a x^{2} + b x + c

schreiben. Eine übliche Darstellung.
Nun ist der Vektorraum

V

der Polynome vom Grad

\leq 2

(ja, es ist ein Vektorraum bzgl. der Addition und der Skalarmultiplikation) isomorph zu

K^{3}

(wobei

K

der zugrunde liegende Körper sei).
Wenn du nun als geordnete Basis

B := {x^{2}, x, 1}

nimmst, so kann man

a x^{2} + b x + c

mit

(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array})

identifizieren.

Wenn man aber als geordnete Basis

B ʹ := {1, x, x^{2}}

nimmt, so kann man

a x^{2} + b x + c

mit

(\begin{array}{c} c \\ b \\ a \end{array})

identifizieren.

Verstehst du den Unterschied?

Wir nehmen mal als lineare Abbildung die Ableitung

f (p) := p ʹ

her.
Offenbar gilt bzgl

B

(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) \mapsto (\begin{array}{c} 0 \\ 2 a \\ b \end{array})

, d.h. die darstellende Matrix ist

M_{B}^{B} (f) = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

.

Wenn du aber

B ʹ

zugrunde legst, so gilt:

(\begin{array}{c} c \\ b \\ a \end{array}) \mapsto (\begin{array}{c} b \\ 2 a \\ 0 \end{array})

, d.h. die darstellende Matrix ist

M_{B ʹ}^{B ʹ} (f) = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

.

Wenn du dies verstanden hast, musst du dir die Frage beantworten, welche Dimension die Matrix in der dir gestellten Aufgabe ist.
Bedenke: die Spalten der Darstellungsmatrix entspricht den Bildern der Koordinatenvektoren der zugehörigen Basis!

Mfg Michael

KikiS

21:51 Uhr, 26.02.2018

Hallo Michal,
erstmal vielen Dank für Deine Antwort.

Ich werde versuchen, deine Beispiele genauer zu verstehen und morgen zu übertragen. Dann würde ich mich nochmal melden :-)

Lg
Chris

KikiS

19:33 Uhr, 27.02.2018

Also Dein erstes Beispiel verstehe ich so: der erste Eintrag aus der Basis wir mit dem ersten Eintrag aus dem Vektor multipliziert, sodass dann immer ax^2+bx+c rauskommt, richtig?

Allerdings verstehe ich hier den Schritt nicht:

"Offenbar gilt bzgl

B : (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) \to

((0),(2a),(b))"

p'

ist dann ja 2ax+b. Wie hast du das gemacht?

Und

M_{B}^{B}

sind dann ja die durch die Basen entstandenen Vektoren, wobei ich hier deine Rechnung nicht nachvollziehen kann.

Ich weiß, dass meine Matrix die Dim=2 hat. Ich weiß nur nicht, wie ich mit

2 x 2

Basen arbeiten muss und dass ich die Koordinatenvektoren durch die selbe Base erstellen muss...

Könntest du mir das einmal bitte zeigen?

LG

KikiS

21:19 Uhr, 27.02.2018

Hab jetzt einfach stupide mal versucht wie ich immer rechnen würde:

f (v_{1}) = 1 \cdot v_{1} + 0 \cdot v_{2} + 0 \cdot v_{3} + 0 \cdot v_{4}

ergibt die Base

v_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

usw für

v_{2}

bis

v_{4}

Als Matrix kommt dann halt die Einheitsmatrix

E_{4}

heraus :

M_{A}^{A} (f) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Stimmt das??

michaL aktiv_icon

22:24 Uhr, 27.02.2018

Hallo,

> Ich weiß, dass meine Matrix die Dim=2 hat.

Tja, dann solltest du dich mit einer anderen Aufgabe beschäftigen. Mit diesem Nicht-Wissen wirst du die Aufgabe nicht knacken können!

> Also Dein erstes Beispiel verstehe ich so: der erste Eintrag aus der Basis wir mit dem ersten Eintrag aus dem
> Vektor multipliziert, sodass dann immer ax^2+bx+c rauskommt, richtig?

Häh?

Ich meinte in meinem Beispiel, dass das Polynom

p = a x^{2} + b x + c

abgebildet wird auf seine Ableitung, d.h. es gilt

a x^{2} + b x + c \mapsto 2 a x + b

.
Kennst du, oder?

In der Schreibweise, die

a x^{2} + b x + c

identifiziert mit

(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array})

, wird die Ableitung

2 a x + b = 0 x^{2} + 2 a x + b

identifiziert mit

(\begin{array}{c} 0 \\ 2 a \\ b \end{array})

, was ich im letzten posting geschrieben habe. Damit werden die Basisvektoren wie folgt abgebildet:

(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \mapsto (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})

(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \mapsto (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \mapsto (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

Daraus ergibt sich die Matrix

M_{B}^{B} (f)

, wie ich im letzten posting angegeben habe.

Zu deinem anderen posting:

Deine Basis hat vier Elemente, also muss natürlich auch die Abbildungsmatrix vierreihig sein. Korrekt.

Allerdings musst du nun in dieser Basis denken (die Standardbasis), d.h. eine Matrix

(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})

wird mit

(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \end{array})

identifiziert.

Nun musst du noch die korrekten Bilder berechnen. Es soll ja

f ((\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})) = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) - (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})

.

Speziell also:

f (v_{1}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) - (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

, nicht

= v_{1}

. Insofern kann deine Matrix noch nicht stimmen!

Berechne doch erst einmal die Bildmatrizen von

v_{1}

v_{2}

v_{3}

und

v_{4}

korrekt, am besten in Matrixform (weil du dich damit vermutlich eher zuhause fühlen wirst).

Danach schreibst du die Bildmatrizen als vierreihige Vektoren um, wie ich es oben demonstriert habe.
Und schließlich setzt du die Bild"vektoren" zur Darstellungsmatrix zusammen.

Mf Michael

EDIT: Rechenfehler korrigiert

KikiS

17:32 Uhr, 02.03.2018

Hallo Michael,

jetzt hab ich es verstanden; hatte jetzt die Formel

f (B) = B \cdot M - M \cdot B

nicht sofort als die Funktionsvorschrift genommen... deshalb auch meine Schwierigkeiten.

Komme dann jetzt auf:

f (v_{1}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = 0 \cdot v_{1} + 1 \cdot v_{2} + 1 \cdot v_{3} + 0 \cdot v_{4}

f (v_{2}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

f (v_{3}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

f (v_{4}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

Demnach ist dann

M_{A}^{A} (f) = (\begin{matrix} 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix})

. Stimmt das so? :-)

Dann habe ich noch einen weiteren Aufgabenteil dazu:

c)

Eine weitere Basis von

V

ist

B = (w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}),

wobei

w_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), w_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0,5 \\ 0,5 & 0 \end{matrix}), w_{3} = (\begin{matrix} 0 & 0,5 \\ - 0,5 & 0 \end{matrix}), w_{4} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

.
Finden Sie eine Martix

S \in M_{4 x 4} (ℝ),

sodass

M_{B}^{B} (f) = S \cdot M_{A}^{A} (f) \cdot S^{- 1}

.

Ich hab erstmal versucht,

M_{B}^{B}

so wie bei

b)

zu berechnen.

f (w_{1}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = 0 \cdot w_{1} + 0 \cdot w_{2} + 0 \cdot w_{3} + 0 \cdot w_{4} \to {(0,0,0,0)}

f (w_{2}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

hier kann ich leider nicht mit den Basen von

B

machen...

f (w_{3}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) = 1 \cdot w_{4} \to {(0,0,0,1)}

f (w_{4}) = (\begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}) = 4 \cdot w_{2} \to {(0,4,0,0)}

Ist das soweit richtig? wie löse ich denn

f (w_{2})

ledum aktiv_icon

18:49 Uhr, 02.03.2018

Hallo
du sollst doch

S,

die Basiswechselmatrix finden nicht einfach

M_{B}^{B}

Gruß ledum

KikiS

18:57 Uhr, 02.03.2018

Hallo ledum,
Danke für Deine Antwort.

Ich dachte, ich könnte dann später einfach ein Kontrollergebnis haben.

Ich habe

S

immer im Zusammenhang mit Eigenwerten und Eigenvektoren kennengelernt, sodass dann immer eine Diagonalmatrix

D

und dazu halt

S

raus kam. Ist das hier das selbe bzw. muss ich hier die Eigenvektoren und -werte bestimmen?

michaL aktiv_icon

12:21 Uhr, 03.03.2018

Hallo,

@KikiS:

Du schriebst weiter oben:
> Demnach ist dann

M_{A}^{A} (f) = \dots

. Stimmt das so? :-)

Ja, gut so. Offenbar habe ich mich auch verrechnet bzw. vertippt, da ich das eigentlich wegen meiner hohen Fehlerrate immer von einem Programm machen lasse. :-)

Dann wolltest du noch folgendes gelöst haben:
> Finden Sie eine Martix

S \in M_{4 x 4} (ℝ)

, sodass

M_{B}^{B} (f) = S \cdot M_{A}^{A} (f) \cdot S^{- 1}

.

Ist dir denn nicht bewusst, dass

S

durch die Inverse des Basiswechsels gegeben ist?

Wir notieren mal für einen Vektor

x

in der Basis

B

x_{B}

, in der Basis

A

stattdessen

x_{A}

.
Wenn wir für die Standardbasis

E

notieren und für die Umrechnung von der Basis

B

in die Standardbasis

E

die Matrix

M_{B}^{E} (id)

(diese Matrix enthält gerade als Spalten die Koordinatenvektoren der Basisvektoren vn

B

in der Standardbasis

E

) verwenden, so gilt doch

x_{E} = M_{B}^{E} (id) {\cot x}_{B}

.
Damit gilt

x_{B} = M_{B}^{E} (id)^{- 1} {\cot x}_{E}

bzw.

M_{E}^{B} (id) = M_{B}^{E} (id)^{- 1}

.
Damit kannst doch die Umrechnung von

A

nach

B

durch

x_{a} = M_{B}^{A} (id) x_{b} = M_{E}^{A} (id) {\cot M}_{B}^{E} (id) \cdot x_{b} = M_{A}^{E} (id)^{- 1} \cdot M_{B}^{E} (id) \cdot x_{b}

verwenden.

Ohne also jemals

M_{A}^{A} (f)

berechnet zu haben, weiß man, dass

S^{- 1}

die Umrechnung von Basis

B

in Basis

A

leisten muss und umgekehrt die Matrix

S

die Umrechnung zurück von Basis

A

in Basis

B

leisten muss. Es muss daher gelten

S = {(M_{A}^{E} (id)^{- 1} \cdot M_{B}^{E} (id))}^{- 1} = M_{B}^{E} (id)^{- 1} \cdot M_{A}^{E} (id)

gelten.
Die Matrizen der Art

M_{B}^{E} (id)

sind aber - wie oben erwähnt - recht einfach aufgebaut.

Mfg Michael

KikiS

20:10 Uhr, 04.03.2018

Ich habe dann mal gerechnet:

Für

S = M_{B}^{A} (f)

erhalte ich

(\begin{matrix} 0 & g & 0 & 0 \\ 2 & h & 0 & - 2 \\ 0 & j & 0 & 0 \\ 0 & k & - 1 & 0 \end{matrix}),

denn wenn ich

f (v_{2})

bestimme, komme ich auf folgende Rechnung:

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) =

keine Kombinationsmöglichkeit mit den Basen aus

B = (w_{1}, ..., w_{4})

. Wo liegt mein Fehler?

Für

S^{- 1} = M_{A}^{B} (f) = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{matrix})

. Stimmt das?

Danke für Eure Hilfe und die Geduld:-)

michaL aktiv_icon

22:33 Uhr, 04.03.2018

Hallo,

> keine Kombinationsmöglichkeit mit den Basen aus B=(w1,...,w4). Wo liegt mein Fehler?

Wieso das? Das Ergebnis ist doch offenbar genau

- w_{4}

. Keine Kombination kann auch nicht sein, da es sich ja um eine Basis handeln soll, die immerhin ein Erzeugendensystem ist.

Aber noch einmal: Du musst zur Bestimmung von

S

und/bzw.

S^{- 1}

NICHT die ganze Rechnung mit der neuen Basis noch einmal machen. Siehe dazu meinen vorherigen Beitrag!

Mfg Michael

KikiS

12:38 Uhr, 06.03.2018

Hallo,
Das mit dem

- w_{4}

ist richtig..., nur es kommt nicht raus, wenn man auf seinem Zettel einen Fehler hat...

Vielen Dank für Deine Hilfe und Geduld :-)

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