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Das Produkt zweier Reihen als Cauchy-Produkt

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Cauchy, Cauchy Produkt, Doppelsumme, Funktionenreihen, produkt

Shadowhunter123

23:18 Uhr, 19.03.2013

Hi!

Ich habe Probleme damit, das Cauchy-Produkt zu bilden.

Habe ich zwei Reihen

\sum_{n = 0}^{n} a_{n}

und

\sum_{n = 0}^{n} b_{n}

so ist ihre Cauchy-Produktreihe definiert als

\sum_{n = 0}^{n} a_{n} \cdot \sum_{n = 0}^{n} b_{n} = \sum_{n = 0}^{n} d_{n}

Das Cauchy-Produkt selbst ist wohl nur die Folge

d_{n}

(das mir vorliegende Skript ist da ein bisschen widersprüchlich) und für

d_{n}

gilt

d_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot b_{n - k}

.

Man erhält zusammengefasst also

\sum_{n = 0}^{n} a_{n} \cdot \sum_{n = 0}^{n} b_{n} = \sum_{n = 0}^{n} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot b_{n - k}

.

Ich habe nun Probleme damit eben diese Doppelsumme zu bilden. Wie muss ich da vorgehen?

Ich meine, ich kann es doch nicht einfach so machen:

Beispiel: Sei

a_{n} = \frac{1}{n^{2}}

und

b_{n} = \frac{1}{n!}

.
Gilt dann für mein

d_{n}

einfach

d_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\frac{1}{k^{2}}) \cdot (\frac{1}{{(n - k)}^{!}})

?

Vermutlich nicht und falls doch, ist mir nicht klar, wie ich damit weiterrechne. Eigentlich ist mir nicht mal klar, für was ich dieses Cauchy-Produkt genau brauche und wieso ich es so "kompliziert" in einer Doppelsumme schreiben muss?
Der einzige wichtige Satz der mir zum Cauchy-Produkt einfällt ist, dass wenn ich 2 abs. konvergente Reihen habe und diese multipliziere, dann konvergiert ihr Produkt (also das Cauchy-Produkt) ebenfalls absolut.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sina86

01:20 Uhr, 20.03.2013

Hallo,

schau noch einmal nach, eine Reihe geht immer bis unendlich. D.h. da sollte stehen

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} = \sum_{n = 0}^{\infty} d_{n}

mit

d_{n} := \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot b_{n - k}

Also in deinem Beispiel

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)^{2}} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{(k + 1)^{2}} \cdot \frac{1}{(n - k - 1)!}

Und jetzt muss man hoffen, dass auf der rechten Seite etwas rauskommt, was leichter auszurechnen ist. Zu der Doppelsumme ist zu sagen, dass sie sich ganz einfach daraus ergibt, wenn man endliche Summen miteinander multipliziert. Dann kommt man auf die Idee, dass ein solcher Zusammenhang für Reihen gelten könnte. Zudem kann man halt zeigen, dass das Produkt gegen den Grenzwert

a \cdot b

konvergiert.

Shadowhunter123

01:46 Uhr, 20.03.2013

Hi!

Auch hier nochmal danke für deine Mühe!
Du hast Recht... da sollte überall bis auf beim

d_{n}

ein

\infty

als obere Grenze der Reihe stehen... ist schon spät, ich bessere es gleich aus, damit es zu keinen Missverständnissen kommt.

Vielleicht liegt es auch an der Uhrzeit, dass ich deine Umformung nicht so ganz verstehe.

Ich habe ja die Reihen

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

und

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

Ab dem "Also in deinem Beispiel hast du aber plötzlich ein

{(n + 1)}^{2}

im Nenner der Reihe stehen... ist das gewollt? Wenn ja: wieso steht das da?

Wieso fehlt dann auf der rechten Seite das Quadrat völlig? Und wieso steht im zweiten Ausdruck noch diese

- 1

in der Fakultätsklammer?

Vielleicht ist heute einfach nicht mein Tag...

Sina86

11:43 Uhr, 20.03.2013

Hi,

zunächst einmal, das Quadrat auf der rechten Seite habe ich vergessen, ich korrigier das mal... ;-)

Dann habe ich dein Beispiel nur angepasst, da die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

nicht wohldefiniert ist (man teilt durch Null). Aber für den Cauchy-Produktsatz müssen die Summen beide bei Null beginnen. Daher hab ich das Beispiel etwas abgeändert. Da nun

(n + 1)^{2}

im Nenner steht, taucht auch ein extra

- 1

(wegen

n - (k + 1)

) in der Fakultätsklammer auf...

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