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Dedekindscher Schnitt
Universität / Fachhochschule
Tags: Dedekindscher Schnitt
 
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anonymous 21:11 Uhr, 31.10.2014  |
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Hallo, ich steh grad beim Dedekindschen Schnitt an. sind Teilmengen von Q. (a) und sind beide nicht leer Jede rationale Zahl liegt in genau einer der beiden Mengen, . A vereinigt mit und A geschnitten mit Leere Menge Jedes Element von A ist kleiner als jedes Element von (d) hat kein größtes Element Versteh leider jetzt nicht so ganz, wie man darauf auf die reellen Zahlen kommt? Nehme ich jetzt zb Wurzel aus 2. Wie erklärt man am Besten durch den Schnitt, dass das keine rationale Zahl ist? Vl kann es jemand "einfach" erklären. Damit ich es mir besser vorstellen kann. Ganz liebe Grüße, sunday :-) |
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"Wie erklärt man am Besten durch den Schnitt, dass das keine rationale Zahl ist?" Das irrational ist, erklärt man nicht mit den Dedekindischen Schnitten. Aber man kann durch den Schnitt oder und und darstellen. Diese Schnitte ist nur ein Mittel, um reelle Zahlen zu "konstruieren", denn reelle Zahlen, obwohl sie für uns selbstverständlich sind, kein so einfacher Objekt sind. Noch im 19 Jahrhundert haben viele Mathematiker, auch große, die Existenz von reellen Zahlen nicht akzeptiert. Und wenn Quantentheorie Recht hat, auch aus einem guten Grund, denn nach der Quantentheorie existieren in der Welt keine Objekte, die mit reellen Zahlen beschrieben werden können. :-) |
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anonymous 21:43 Uhr, 31.10.2014 |
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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Sehr interessant, das mit der Quantentheorie. Ist es sicher Wert, dass ich mir das mal genauer anschaue :-) Zum Schnitt, ich versteh eben nicht, warum bei deinem A und dadurch die reellen Zahlen konstruiert werden. Man hat einen Zahlenstrahl und alles links vom Schnitt ist kleiner wie alles rechts vom Schnitt. Dann macht man den Schnitt zb bei Wurzel 2. Aber was sagt mir das jetzt? Schon klar, dass Wurzel 2 irrational ist. Aber beim Dedekindschen Schnitt versteh ich irgendwie nicht so ganz den Sinn dahinter.. Möchte es selbst gern einem Schüler erklären und dafür muss ich es echt gut verstehen um es dann auch möglichst einfach zu erklären.. Danke :-) |
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"Aber beim Dedekindschen Schnitt versteh ich irgendwie nicht so ganz den Sinn dahinter" Wie gesagt, das ist eine Möglichkeit, reelle Zahlen steng logisch zu konstruieren. Wie definieren reelle Zahlen als Schnitte, also als Paare von Teilmengen von . Wie willst Du sonst vorgehen? Irgendwie musst Du den Sprung von rationalen Zahlen zu reellen machen. Ein alternativer Weg ist z.B. Cauchy-Folgen von rationalen Zahlen zu betrachten, darauf eine Äquivalenzrelation definieren und dann reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen zu definieren. Klingt nicht viel einfacher, glaube ich. Und der Punkt ist - es gibt keinen einfachen und gleichzeitig strengen Weg, reelle Zahlen zu definieren, Du hast sie einfach nie hinterfragt, weil Du sie für selbstverständlich hälst, was sie aber nicht sind. |
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Aber einem Schüler so was zu erklären ist problematisch, es sei denn er ist außerordentlich begabt. Für abstrakte Konstruktionen wie diese braucht man bestimmte Erfahrung. |
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