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Definitheit einer Matrix mit Eigenwerten
Universität / Fachhochschule
Determinanten
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Tags: Determinant, Eigenwert, Hesse-Matrix, Konkav, Matrizenrechnung
 
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Hallo zusammen, ich habe eine Funktion die ich auf Konkavität testen möchte. Dazu bilde ich die Hesse-Matrix, welche ich auf negative Semi-definitheit teste. Die Hesse-Matrix ist auf dem Bild im Anhang zu sehen. Die dazugehörigen Eigenwerte sind: Die Funktion ist demnach also nicht negative semi-definit, weil der erste Eigenwert größer Null ist. Allerdings habe ich nun den gleichen Test mit einer Beispielsmatrix gemacht, von der ich weiß, dass sie negativ-semidefinit ist (siehe zweites Bild im Anhang). Die dazugehörigen Eigenwerte sind: Der erste Eigenwert wird also offensichtlich als "Null" interpretiert. Deshalb meine Frage: Gibt es denn eine "Faustzahl", wie klein ein Eigenwert sein muss damit er als Null interpretiert werden kann? Könnte unter Umständen der obige Eigenwert als Null interpretiert werden? Vielleicht noch eine zweite Frage hinterher: Gibt es einen bestimmten Grund, dass häufig der erste Eigenwert ist, die anderen im negativen Bereich? Oder ist das Zufall? Besten Dank im Voraus für jede Antwort. Viele Grüße Stefan   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Deshalb meine Frage: Gibt es denn eine "Faustzahl", wie klein ein Eigenwert sein muss damit er als Null interpretiert werden kann?" Nein. In der Mathematik kann eine Zahl nur dann als 0 interpretiert werden, wenn sie tatsächlich 0 ist. "Könnte unter Umständen der obige Eigenwert als Null interpretiert werden?" Nur wenn es ist in Wirklichkeit 0 ist. Das kann durchaus der Fall sein, denn z.B. in Deinem "Testbeispiel" ist der Eigenwert genau 0 und die komische kleine Zahl kommt nur dadurch zustande, dass die Berechnung mit einem ziemlich ungenauen Rechner gemacht wurde. "Vielleicht noch eine zweite Frage hinterher: Gibt es einen bestimmten Grund, dass häufig der erste Eigenwert ist, die anderen im negativen Bereich? Oder ist das Zufall?" Was ist denn "der erste Eigenwert"? Sie haben doch keine natürlich Reihenfolge. Eine Reihenfolge bekommen sie dadurch, dass man sie sortiert, und dann steht natürlich der größte an erster Stelle. Ich empfehle übrigens zumindest ein paar Mal die Eigenwerte eigenhändig zu berechnen, über das charakteristische Polynom, ohne den Spezialrechner. |
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