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Definition der Summe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Analysis, Definition, Summe

MathsTom aktiv_icon

14:28 Uhr, 05.01.2013

Hallo Leute,

1

1 + 1 = : 2

(1 + 1) + 1 = : 1 + 1 + 1 = : 3

(1 + 1 + 1) + 1 = : 1 + 1 + 1 + 1 = : 4

Mag mir mal jemand diesen Auszug aus "Einführung in die Analysis 1" von Rolf Walter (Seite

18)

Satz für Satz erklären:

"Zunächst sind Summen von mehr als zwei Körperelementen erst dann Definiert, wenn eine bestimmte Beklammerung, die jeweils nur zwei Elemente erfasst, vorgegeben ist. Allerdings kann man (wiederum mit dem Induktionsprinzip) nachweisen, dass der Wert bei gleichen Summanden unabhängig von der Art und Weise der Beklammerung ist. Bei den Einsersummen gilt

z . B

. nicht nur wie oben

(1 + 1 + 1) + 1 = ((1 + 1) + 1) + 1,

sondern auch

((1 + 1) + 1) + 1 = (1 + 1) + (1 + 1)

oder

((1 + 1) + 1) + 1 = (1 + (1 + (1 + 1))),

usw. Diese Unabhängigkeit hat zur Folge, dass man auf die Angabe einer Beklammerung überhaupt verzichten kann. (Analoges ist für mehrfache Produkte richtig.)"

Das Problem verstehe ich. Die Körperaxiome definieren ja nur Summen der Form

(a + b) + c

. Es ist

(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b

usw. aber es ist ja nicht gesagt, dass das auch

= a + b + c

ist.

Mh ich bin mir fast sicher, dass ich zu kompliziert Denke... Danke für die Hilfe :-)
MathsPad

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HenriLeon aktiv_icon

08:52 Uhr, 06.01.2013

Der Punkt ist wie im letzten Satz des Zitats: "Diese Unabhängigkeit hat zur Folge, dass man auf die Angabe einer Beklammerung überhaupt verzichten kann"

Es ist ja durchaus sinvoll überflüssige Symbole weglassen.

Im Allgemeinen ist nicht klar ob mit

a \circ b \circ c

der Ausdruck

(a \circ b) \circ c

oder

a \circ (b \circ c)

gemeint ist.Da jedoch bei

+

der Wert unabhängig von der Klammersetzung ist rechtfertigt das dies angegebene schreibweise.

MathsTom aktiv_icon

12:19 Uhr, 06.01.2013

Wie kann man das mit vollständiger Induktion beweisen?
Und noch etwas: Das Distributivgesetz lautet ja gemäß den Axiomen

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

.
Wie zeigt man aus den Axiomen

(a + b + c) \cdot d = a \cdot d + b \cdot d + c \cdot d

?

Und in den Körperaxiomen ist nur das obige (erste) Distributivgesetz definiert. Was ist aber mit

c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b

Bummerang

13:31 Uhr, 07.01.2013

Hallo,

"Wie kann man das mit vollständiger Induktion nachweisen?"

Nur mal als Skizze:

Zu beweisen ist, dass

((. .

((a_{1} + a_{2}) + a_{3}) + . .

+ a_{n - 2} + a_{n - 1}) + a_{n}

= a_{1} + (a_{2} + (a_{3} + . .

+ (a_{n - 2} + (a_{n - 1} + a_{n})) . .

))

= (a_{1} + a_{2} + a_{3} + . .

+ a_{k}) + (a_{k + 1} + . .

+ a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n})

= a_{1} + a_{2} + a_{3} + . .

+ a_{k} + a_{k + 1} + . .

+ a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n}

Der Induktionsanfang ist, da die Addition erst ab 3 Summanden "nicht erklärt" ist bei

n = 3

. Die einzige echte Aufteilung in Klammer-Gruppen ist durch das Assoziativgesetz abgedeckt und der Induktionsanfang ist gemacht.

Für

n \geq 3

gilt dann:

(. .

((. .

((a_{1} + a_{2}) + a_{3}) + . .

+ a_{k}) + a_{k + 1}) + . .

+ a_{n - 1} + a_{n}) + a_{n + 1}

= (a_{1} + a_{2} + a_{3} + . .

+ a_{k} + a_{k + 1} + . .

+ a_{n - 1} + a_{n}) + a_{n + 1}

weil die äußerste Klammer eine Summe mit

n

Summanden beinhaltet, ist für sie die Induktionsvoraussetzung erfüllt und man kann diese Summe beliebig klammern,

z . B

. nach dem k-ten Summanden mit

1 \leq k < n :

= ((a_{1} + a_{2} + a_{3} + . .

+ a_{k}) + (a_{k + 1} + . .

+ a_{n - 1} + a_{n})) + a_{n + 1}

Hierauf kann man nunmehr das Assoziativgesetz anwenden:

= (a_{1} + a_{2} + a_{3} + . .

+ a_{k}) + ((a_{k + 1} + . .

+ a_{n - 1} + a_{n}) + a_{n + 1})

Die hintere, äußere Klammer beinhaltet

(n + 1) - k

Summanden und wegen

k \geq 1

ist

(n + 1) - k \leq n

und hier kann wieder die Induktionsvoraussetzung angewandt werden:

= (a_{1} + a_{2} + a_{3} + . .

+ a_{k}) + (a_{k + 1} + . .

+ a_{n - 1} + a_{n} + a_{n + 1})

Wir können also auch

n + 1

Summanden an beliebiger Stelle Klammern.

MathsTom aktiv_icon

18:39 Uhr, 07.01.2013

Ich schätze deine Mühe wirklich sehr, aber ich verstehe absolut nichts. Kann man das einfacher für nicht-Mathestudenten erklären?

Ich weiß nichtmal genau, was bewiesen werden soll. Ich weiß nur, dass nur die Summe aus zwei Summanden erklärt ist. Weiter nichts.

also

a + b

ist erklärt,

a + b + c

nicht?! Aber

a + (b + c)

schon. Und was ist mit

a + (b + c + d)

? Das dann ja auch nicht, oder?

Bummerang

09:42 Uhr, 08.01.2013

Hallo,

"... aber ich verstehe absolut nichts. Kann man das einfacher für nicht-Mathestudenten erklären?"

Vollständige Induktion ist Abiturstoff (und somit mitnichten etwas, das nur Mathestudenten verstehen können) und diese hier im Forum zu erklären, wäre zu aufwändig! Das ist eher Sache Deiner Lehrer bzw. Nachhilfekraft.

MathsTom aktiv_icon

16:23 Uhr, 08.01.2013

Das Prinzip der vollständigen Induktion verstehe ich ja auch. Mein Problem liegt wohl eher in einer fehlenden Struktur, so weiß ich garnicht, was hier jetzt eigentlich gemacht wurde.

Man hat einerseits die Körperaxiome, alles klar. Da treten aber jetzt Probleme auf, wenn man Summen bilden möchte. Welche Eigenschaften haben diese Summen, die Probleme bereiten? Was muss man beweisen?

Vielleicht sollten wir so anfangen.

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