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Der Freie Fall

Schüler

Tags: Aufgabe

Christian- aktiv_icon

21:18 Uhr, 18.11.2015

Hallo Freunde,
ich habe eine Aufgabe, bei dem ich einen Teil verstehe und einen icht so ganz.

Nehmen Sie an, der Baum hat eine Höhe von

4 m

(auf dieser Höhe befindet sich auch der Apfel) und in einer Höhe von

2,50 m

über dem Boden sitzt ein Vogel auf einem Ast. Der Apfel wiegt

200 g,

und die konstante Beschleunigung, die der Apfel während des Falls erfährt, ist

g = 9,81 \frac{m}{s^{2}}

in Richtung des Bodens.

a)

Welche Zeit benötigt der Apfel, bis er auf dem Boden auftrifft?

b)

Mit welcher Geschwindigkeit sieht der Vogel den Apfel an sich vorbeifliegen?

Mein Ansatz:
Wir haben es mit einer Erdbeschleunigung zu tun, die den Apfel Richtung Erde nach unten zieht. Und wir haben eine Höhe von

4 m,

wo sich der Apfel befindet.

Die mir bekannte Formel ist:

Δ x = v_{0} + t + \frac{1}{2} a \cdot t^{2}

v_{o} + t

fällt weg.

Δ x = \frac{1}{2} a \cdot t^{2} |

nach

t^{2}

umformen

\frac{Δ x \cdot 2}{g =} t^{2} |

ich ziehe die Wurzel aus dem

t^{2}

\sqrt{\frac{Δ x \cdot 2}{g}} = t |

Jetzt setze ich die gegeben Werte ein.

t = \sqrt{\frac{(0 - 4 m) \cdot 2}{- 9,81} \frac{m}{s^{2}} |}

Minus deswegen, weil mir Roman22 vor Kurzem das dreidimensionale Koordinatensystem erklärt hat. Der Apfel fällt nach unten. Wenn man sich gedanklich von der

z

Achse vorstellt, wie der Apfel nach unten fällt, dann geht dieser in Minus Richtung nach unten.

t = 0,9 s

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Jetzt zur Aufgabe

b)

Da hänge ich ein bisschen.:-)
Eine Differenz vom Vogel zum Apfel am Baum ist ja

Δ x = 2,5 m - 4 m

die Erdbeschleunigung spielt auch eine Rolle

- 9,81 \frac{m}{s^{2}}

Aber, jetzt weiß ich nicht wirklich, wie ich da weiter machen soll. Vielleicht gibt es ja eine Formel, die mir noch unbekannt ist? Ich hoffe, ihr könnt mir helfen, würde mich sehr freuen. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pleindespoir aktiv_icon

21:26 Uhr, 18.11.2015

v (t) = g \cdot t

Christian- aktiv_icon

21:35 Uhr, 18.11.2015

Vielen dank für deine Antwort,

x (t) = \frac{d x}{d t} = v (t) = g \cdot t

Ja, die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Geschwindigkeit.

v (t) = - 9,81 \frac{m}{s^{2}} \cdot

?

Schuldigung für die Störung, aber was für einen Wert empfielst du mir für die Zeit einzusetzen?

pleindespoir aktiv_icon

21:37 Uhr, 18.11.2015

Am besten den Zeitpunkt, zu dem der Vogel den Apfel vorm Schnabel hat

Christian- aktiv_icon

21:38 Uhr, 18.11.2015

Vielen Dank, ich denke nochmal darüber nach.

Roman-22

21:51 Uhr, 18.11.2015

>

Die mir bekannte Formel ist: Δx=v0+t+12a⋅t2
Formel wofür? Ohne zu sagen, was die einzelnen Größen bedeuten sollen, ist eine Formel relativ sinnfrei. Abgesehen davon, scheinst du da etwas durcheinander zu bringen, wie dir eine einfache Einheitenkontrolle sofort zeigt.

v_{0}

soll wohl eine (Anfangs-)Geschwindigkeit sein und hat zB die Einheit

\frac{m}{s}

t,

wohl als Zeit gedacht, hat zB die Einheit

s

und wenn a eine Beschleunigung sein soll, dann hat

\frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}

zB die Einheit

m

. Größen unterschiedlicher Dimension, so wie hier eben Geschwindigkeit, Zeit und Länge kann man ber nicht addieren, also kann die Formel, was immer sie auch darstellen mag, nicht richtig sein (es sein denn ich liege mit meiner Interpretation von

t, v

und a komplett daneben).

Was du in Erinnerung hast ist wohl die Gleichung (du hast hier

+

und

⋆

verbuchselt)

s (t) = s_{0} + v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}

welche den Weg eines gleichförmig beschleunigten Körpers beschreibt, der zum Zeitpunkt 0 bei

s_{0}

mit der Initialgeschwindigeit

v_{0}

startet.

Hier also, (und die Bewegung spielt sich ja nur in z-Richtung ab, da sich der Baum weder bewegt noch den Apfel seitlich wegspuckt) und hier spreche ich dann lieber von der Höhe:

h (t) = 4 m - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}

Es interessiert der Zeitpunkt, an dem der Apfel beim Vogel in der Höhe

2,5 m

vorbeirauscht, also ist die Gleichung

h (t) = 2,5 m

nach

t

aufzulösen.

pleinedespoir hat bereits die Formel für die Apfelgeschwindigkeit verraten, die man auch durch Differentiation von

h (t)

nach die Zeit erhalten kann

\to v (t) = - g \cdot t

. Das negative Vorzeichen rührt hier daher, dass es sich um eine Bewegung nach unten in Richtung abnehmender Höhenwerte handelt.

R

Christian- aktiv_icon

21:56 Uhr, 18.11.2015

Ja, du hast vollkommen recht, ich habe die Formel falsch aufgeschrieben.

v_{o} \cdot t

sollte es lauten und nicht,

v_{0} + t

.

Ich denke nochmal über das ganze noch nach, danke erstmal soweit.

Christian- aktiv_icon

22:12 Uhr, 18.11.2015

Gedankenblitz!

h (t) = 1,5 m - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \frac{m}{s^{2}} \cdot t^{2}

0 = 1,5 m - 4,905 \frac{m}{s^{2}} \cdot t^{2}

1,5 m = 4,905 \frac{m}{s^{2}} \cdot^{2}

\sqrt{\frac{1,5 m}{4,905 \frac{m}{s^{2}}}} = t

t \approx 0,553 s

- - - - - - - -

Jetzt diesen Wert in die Formel einsetzen, das pleindespoir und Roman-22 vorgeschlagen haben.

v (t) = - 9,81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 0,553 s

v \approx - 5,42 \frac{m}{s}

- - - - - - -

So in etwa?

Roman-22

22:17 Uhr, 18.11.2015

Ja, die Ergebnisse sind richtig.

Formal würde ich die konkreten Werte nicht

t

und

v

nennen sondern etwa

t_{1}

und

v_{1}

R

Christian- aktiv_icon

22:19 Uhr, 18.11.2015

Vielen dank!

Aber ich hätte da noch eine Sache, darf ich nochmal nachfragen?

Ma-Ma aktiv_icon

22:22 Uhr, 18.11.2015

Kurzer Zwischenpost:
Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht?

Formelsammlung aufschlagen

\to

freier Fall:

s = \frac{g}{2} \cdot t^{2}

Der Weg ist ja

1,5 m

bis zum Vogel

...

.
Umstellen nach

t

v = g \cdot t

Fertig

. .

Roman-22

22:35 Uhr, 18.11.2015

>

Aber ich hätte da noch eine Sache, darf ich nochmal nachfragen?
Nur, wenn du nicht nochmal nachfragst, ob du nochmal nachfragen darfst ;-)

Christian- aktiv_icon

22:37 Uhr, 18.11.2015

Das haben wir so gemacht mama, aber wir mussten doch erstmal die Zeit berechnen, bevor wir die Geschwindigkeit ausrechnen konnten.

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ich habe eine noch leichtere Lösung gefunden.
Für diese Lösung brauchen wir auch nicht die Zeit:

v^{2} = 2 a \cdot Δ x

v = - \sqrt{2 a \cdot Δ x}

v = - \sqrt{2 \cdot (- 9,81 \frac{m}{s^{2}}) \cdot (- 1,5 m)}

v = - 5,42 \frac{m}{s}

Darf ich das auch so machen ?

pleindespoir aktiv_icon

22:38 Uhr, 18.11.2015

Ich frage mich, weshalb du fragst, ob du fragen darfst ;-)

Christian- aktiv_icon

22:47 Uhr, 18.11.2015

Will euch nicht auf die Nerven gehen.
Ich habe oben eine andere Variante gepostet.

Roman-22

23:42 Uhr, 18.11.2015

>

Darf ich das auch so machen ?
Ja, aber du solltest bei Formeln eben immer auch angeben, welche Bedeutung die Größen dabei haben.

Warum schreibst du zB

Δ x -

nur weil das in der Formelsammlung oder im Heft auch so steht?
Wir hatten den Weg vorhin mit

s

bzw.

h

bezeichnet und es gab drei verschiedene Ansätze:

Ich hatte

s = 0

am Boden angenommen und

s

nach oben positiv gemessen
Du hattest

s = 0

beim Vogel angenommen und ebenfalls nach oben positiv gemessen.
Ma-Ma hatte

s = 0

beim Apfel in der Ausgangsposition angenommen und

s

nach unten postiv gemessen.

Alle Ansätze führen zum richtigen Ergebnis aber man sollte immer klar stellen, welche Bedeutung die Größen haben, wo man den Nullpunkt wählt, wie die Orientierung.
Ich hab mich da damit aus der Affäre gezogen, dass ich geschrieben hatte, dass meine Gleichung eben die Höhe angibt. Damit war der Nullpunkt klarerweise am Boden und nach oben wirds größer.

Die Formel, die du nur verwendet hast und die, wenn sie verfügbar ist, für diese Aufgabe sicher den elegantesten Lösungsweg ermöglicht, kann ja zB aus den beiden Formeln

(1) s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}

(2) v = g \cdot t

durch Elimination des Parameters

t

gewonnen werden.
Also zB aus

(2)

folgt

t = \frac{v}{g},

was dann in

(1)

eingesetzt

s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{v^{2}}{g^{2}}

liefert und das kann dann eben nach

v^{2} = 2 \cdot g \cdot s

umgestellt werden.

Da

v^{2}

positiv ist, sind

g

und

s

gleich zu orientieren.

s = 0

ist jetzt wieder der Apfel in der Ausgangsposition und

s

wird nach unten positiv orientiert. Du solltest daher auch für

v

den positiven Wert wählen!

R

Christian- aktiv_icon

18:16 Uhr, 19.11.2015

Danke ! Jo

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