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Der Satz Über Implizite funktionen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Lauralisa aktiv_icon

14:23 Uhr, 04.09.2017

Hi, Ich habe Folgende Aufgabe die mir etwas Schwierigkeiten bereitet. (Siehe Bild)
Meine Idee:

Ich wollte die Partielle Ableitung von

y_{1}

und

y_{1}

berechnen und daraus die Jacobi Matrix asusrechnen. Ich wollte danach im nächsten schritt überprüfen ob die Jacobi Matrix im gegebenen Punkt Invertierbar ist. Stimmt das so ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

18:12 Uhr, 04.09.2017

Hallo,
dein Vorgehensplan ist vollkommen richtig.
Wie weit hast du denn schon die Jacobimatrix

\partial F / \partial y

berechnet?
Gruß ermanus

Lauralisa aktiv_icon

18:26 Uhr, 04.09.2017

Hey Ermanus :-)

Also ich habe die Partielle Ableitung von

y_{1}

berechnet für die 1 Funktion habe ich :

x_{1} - cos (y_{1} \cdot y_{2}) \cdot y_{2} - sin (x_{2} \cdot y_{1}) \cdot x_{2}

und für die 2 Funktion habe ich

- 1

und die Partielle Ableitung von

y_{2}

\frac{d \cdot F_{1}}{y_{2}} = - 2 y_{2} - cos (y_{1} \cdot y_{2}) \cdot y_{1}

und für

\frac{d \cdot F_{2}}{y_{2}} = 0

ist das richtig ?

Dann würde sich die jacobi matrix A zusammensetzen aus den folgenden Komponenten:

a_{11} = x_{1} - cos (y_{1} \cdot y_{2}) \cdot y_{2} - sin (x_{2} \cdot y_{1}) \cdot x_{2}

a_{12} = \frac{d \cdot F_{1}}{y_{2}} = - 2 y_{2} - cos (y_{1} \cdot y_{2}) \cdot y_{1}

a_{21} = - 1

a_{22} = 0

ermanus aktiv_icon

18:58 Uhr, 04.09.2017

Ich stimme dir vollkommen zu :-)

Lauralisa aktiv_icon

19:11 Uhr, 04.09.2017

Muss ich jetzt den Punkt

(1,0, - 1,0)

einsetzen und schauen ob die Matrix an der stelle Invertierbar ist ?

Wenn ja habe ich :

a_{11} = 1

a_{12} = 1

a_{21} = - 1

a_{22} = 0

und die Determinante davon ist ungleich 0 Also ist die Matrix Invertierbar und es folgt :

a_{11} = 0

a_{12} = - 1

a_{21} = 1

a_{22} = 1

Insbesondere gilt also der Satz von Impliziten Funktionen also existiert eine Abbildung

y = f (x)

und das LGS ist Lokal nach

(y 1, y 2)

auflösbar.

stimmt das ?

und ich verstehe jetzt nichts mehr was ist denn die Funktion

f

: (

ermanus aktiv_icon

20:46 Uhr, 04.09.2017

Lokal auflösbar heißt nicht, dass du nun eine explizite Zuordnungsvorschrift
für die Abbildung

f

angeben kannst, sondern nur, dass es eine solche Funktion
gibt. Es handelt sich um einen Existenzsatz. Besser steht es um die Möglichkeit,

D f (1, 0)

auszurechnen. Hierfür hast du eine Formel, in der als erster Faktor in
der Tat

- (\partial F / \partial y)^{- 1}

vorkommt:

D f (1, 0) = - (\frac{\partial F}{\partial y} (1, 0, - 1, 0))^{- 1} \cdot \frac{\partial F}{\partial x} (1, 0, - 1, 0)

Lauralisa aktiv_icon

21:01 Uhr, 04.09.2017

Ich verstehe das nicht so.

Stimmt den der Teil :
Muss ich jetzt den Punkt (1,0,−1,0) einsetzen und schauen ob die Matrix an der stelle Invertierbar ist ?

Wenn ja habe ich :

a 11 = 1

a 12 = 1

a21=−1

a 22 = 0

und die Determinante davon ist ungleich 0 Also ist die Matrix Invertierbar und es folgt :

a 11 = 0

a12=−1

a 21 = 1

a 22 = 1

Habe ich mit diesem Teil gezeigt das, dass LGS Lokal nach

(y_{1}, y_{2})

auflösbar ist ?

ermanus aktiv_icon

22:09 Uhr, 04.09.2017

Die Matrix

\frac{\partial F}{\partial y} (1, 0, - 1, 0) = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array})

ist, wie du richtig sagst, invertierbar und die inverse Matrix ist dann

(\frac{\partial F}{\partial y} (1, 0, - 1, 0))^{- 1} = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array})

.
Das hast du zwar nicht so geschrieben, so dass man gar nicht versteht, welches die eine und
welches die andere Matrix sein soll, da bei dir die Komponenten in beiden Fällen gleich heißen.
Aber vermutlich hast du das so gemeint.
Wegen der Invertierbarkeit gibt es daher in einer Umgebung von

(1, 0)

eine Funktion

f

mit

F (x, f (x)) = 0

, also

y = f (x)

. Man sagt dann, man könne das Gleichungssystem lokal
nach

(y_{1}, y_{2})

auflösen. Du kannst in der Regel aber über die Existenz
dieser Funktion hinaus keine weiteren Aussagen machen, außer z.B. mit der von mir
angegebenen Formel

D f (1, 0)

auszurechnen. Letzteres ist ja der letzte Teil der Aufgabe.

P.S.: es ist kein LGS, sondern ein Gleichungssystem !

Lauralisa aktiv_icon

22:25 Uhr, 04.09.2017

Also das ist der teil wo wir die Ableitung berechnen sollen aber wie kommst du denn auf diese Formel.. ?
Warum ist das gerade die Ableitung hmm

ermanus aktiv_icon

22:33 Uhr, 04.09.2017

In vielen Büchern bzw. Vorlesungen ist diese Formel normaler Bestandteil des
Satzes von der impliziten Funktion. Musst du mal googlen ...
Du siehst übrigens, dass der Aufgabensteller gar nichts weiter über

f

von dir
wissen will, außer eben der Ableitung an der Stelle

(1, 0)

. Er will deswegen nicht mehr
von dir über

f

wissen, weil ihm ganz klar ist, dass man so etwas im Allgemeinen gar
nicht explizit wissen kann !

P.S.: leider musst du zwecks Formel nun auch noch

\partial F / \partial x

ausrechnen :(

Lauralisa aktiv_icon

23:01 Uhr, 04.09.2017

achso ich habe das eben gelesen ! :-D)
Ich weiß nicht was ich ohne dich tun würde vielen Dank für alles Ermanus ! :-)

Die ableitung an der stelle ist :

\frac{d \cdot F_{1}}{x_{1}} = y_{1}

\frac{d \cdot F_{2}}{x_{1}} = - e^{x_{1} \cdot x_{2}} \cdot x_{2}

\frac{d \cdot F_{1}}{x_{2}} = - sin (x_{2} \cdot x 1) \cdot x_{1}

\frac{d \cdot F_{2}}{x_{1}} = 1 - e^{x_{1} \cdot x_{2}} \cdot x_{1}

stimmt das :-D)

Lauralisa aktiv_icon

23:01 Uhr, 04.09.2017

achso ich habe das eben gelesen ! :-D)
Ich weiß nicht was ich ohne dich tun würde vielen Dank für alles Ermanus ! :-)

Die ableitung an der stelle ist :

\frac{d \cdot F_{1}}{x_{1}} = y_{1}

\frac{d \cdot F_{2}}{x_{1}} = - e^{x_{1} \cdot x_{2}} \cdot x_{2}

\frac{d \cdot F_{1}}{x_{2}} = - sin (x_{2} \cdot x 1) \cdot x_{1}

\frac{d \cdot F_{2}}{x_{1}} = 1 - e^{x_{1} \cdot x_{2}} \cdot x_{1}

stimmt das :-D)

ermanus aktiv_icon

23:22 Uhr, 04.09.2017

\partial F_{1} / \partial x_{2}

stimmt wohl nicht ?

Bis morgen :-)

Lauralisa aktiv_icon

23:35 Uhr, 04.09.2017

hm ja du hast Recht da muss

\frac{d \cdot F_{1}}{x_{2}} = - sin (x_{2} \cdot y_{1}) \cdot y_{1}

so oder ?

Ok Bis morgen und vielen lieben Dank nochmal :-)

Lauralisa aktiv_icon

16:42 Uhr, 05.09.2017

und die Werte eingesetzt komme ich auf

a_{11} = - 1

a_{12} = a_{21} = a_{22} = 0

das heißt wenn ich beide Matritzen nun multipliziere komme ich auf

c_{11} = c_{12} = c_{22} = 0

c_{21} = - 1

ermanus aktiv_icon

16:47 Uhr, 05.09.2017

Ja, das ist korrekt. Nun musst du gemäß der Formel vom 4.9. 20:46 Uhr vor das Ganze noch ein
Minuszeichen packen ;-)
Dann bist du durch!

LG ermanus

Lauralisa aktiv_icon

17:39 Uhr, 05.09.2017

Oh super vielen vielen dank ☺️ :-))

Lauralisa aktiv_icon

17:41 Uhr, 05.09.2017

Ist das dann die Ableitung von der funktion die nach

y 1, y 2

auflösbar ist ?
Und welche Matrix löst nun das GS

ermanus aktiv_icon

17:52 Uhr, 05.09.2017

Ja,
die Matrix

(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array})

ist die gesuchte Ableitung

D f (1, 0)

.
Was du mit der Matrix meinst, die das GS lösen soll, verstehe ich nicht ???

Lauralisa aktiv_icon

18:01 Uhr, 05.09.2017

In der Aufgabe steht es existiert ein

f,

sodass

f (1,0) = (- 1,0)

und

(x, f (x))

für jedes

x

element

U

das obige GS löst.

Das verstehe ich nicht so wie ich das interpretieren soll..

Lauralisa aktiv_icon

18:01 Uhr, 05.09.2017

In der Aufgabe steht es existiert ein

f,

sodass

f (1,0) = (- 1,0)

und

(x, f (x))

für jedes

x

element

U

das obige GS löst.

Das verstehe ich nicht so wie ich das interpretieren soll..

ermanus aktiv_icon

18:25 Uhr, 05.09.2017

Nun wir haben bewiesen, dass es eine Funktion

f : U \to ℝ^{2}

gibt mit

f (1, 0) = (- 1, 0)

in einer Umgebung

U

von

(1, 0)

, weil wir die Voraussetzungen des Satzes
über die implizite Funktion erfüllen konnten. Nun wissen wir also, dass
es eine solche Funktion gibt, so dass das GS

F (x, y) = 0

durch

y = f (x)

gelöst wird,
dass also

F (x, f (x)) = 0

gilt.
Nochmal: damit wissen wir nur, dass es eine solche Funktion lokal gibt, wir haben aber
keine Formel, die uns diese Funktion explizit hinschreiben lässt. So ist das nun mal
mit vielen Existenzsätzen. Das einzige, was wir genau angeben können, ist die Ableitung
dieses

f

an der Stelle

(1, 0)

.
Es gibt also nichts weiter zu berechnen ...

Lauralisa aktiv_icon

18:57 Uhr, 05.09.2017

Ermanus kein spaß durch dich verstehe ich das sehr gut. Ich danke dir wirklich sehr vielen vielen Dank !
Du bist mir eine sehr große Hilfe

Lauralisa aktiv_icon

12:01 Uhr, 19.09.2017

Hallo Ermanus ich bins nochmal,
wie muss ich das machen wenn ich die Ableitung zum Beispiel im Punkt (2,0) Berechnen soll ?

Lauralisa aktiv_icon

12:05 Uhr, 19.09.2017

muss ich dann

x_{1}, x_{2} (2,0)

setzen und

(y_{1}, y_{2})

so lassen ?

ermanus aktiv_icon

12:31 Uhr, 19.09.2017

Hallo MaHa,

wenn du

y_{1}, y_{2}

so lässt, also

y_{1} = - 1

und

y_{2} = 0

, dann müsste ja

(2, 0, - 1, 0)

dein vorgegebenes Gleichungssystem erfüllen.
Das klappt aber nicht, wie du durch Einsetzen rasch sehen kannst.
Daher wirst du ein anderes Paar

y_{1}, y_{2}

finden müssen, so dass

F (2, 0, y_{1}, y_{2}) = 0

ist. Du bekommst so

y_{1} = - 1

, aber unangenehmerweise

y_{2}^{2} = \sin (y_{2}) - 1

.
Du kannst ja mal gucken, ob diese Gleichung überhaupt lösbar ist.

Lauralisa aktiv_icon

12:43 Uhr, 19.09.2017

Also das heißt doch im Grunde das die Jacobi Matrix im Punkt

(2,0, - 1,0)

nicht Invertierbar ist.
Deshalb wird die Gleichung

F (x, f (x)) = 0

nicht erfüllt. Stimmt das ?
Ich denke die Aufgabe könnte in einer Klausur gefragt werden.

ermanus aktiv_icon

12:48 Uhr, 19.09.2017

Nein, das hat mit der Jacobi-Matrix gar nichts zu tun. Der Punkt

(2, 0, - 1, 0)

erfüllt
einfach nicht die Voraussetzungen des Satzes über implizite Funktionen, so dass dieser
Satz auch keine Aussagen über die Auflösbarkeit nach

(y_{1}, y_{2})

machen kann.

Lauralisa aktiv_icon

13:23 Uhr, 19.09.2017

achso ich verstehe meinst du in der Klausur müssen wir die Punkte selber berechnen ? Also dann müssten wir ja einfach nur das GS lösen.

ermanus aktiv_icon

13:46 Uhr, 19.09.2017

Naja, das vorgegebene Gleichungssystem ist aber wie in diesem Falle
gar nicht explizit lösbar. In einer Klausur wird dann auch ein Punkt

(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2})

vorgegeben sein wie hier

(1, 0 - 1, 0)

, der auch
tatsächlich

F (x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}) = 0

erfüllt. Vielleicht ist auch noch
ein 2-ter Punkt vorgegeben, um mit diesem die Auflösbarkeit nach

(y_{1}, y_{2})

zu überprüfen (also mit Jacobi etc. etc). Der Fall, dass ihr solche Punkte
selbst finden sollt, halte ich für abwegig; es sei denn, die
Abbildung

F

ist total einfach aufgebaut, so dass man die Lösungsmenge

{(x, y) ∣ F (x, y) = 0}

oder

{(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}) ∣ F (x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}) = 0}

leicht überblicken kann.

Lauralisa aktiv_icon

15:22 Uhr, 19.09.2017

Ok ich verstehe, aber wie meinst du das mit dem 2.Punkt ? Können wir mal ein Bsp dazu machen ?

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