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Determinante durch vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: Determinanten, Vollständig Induktion

Mathe--- aktiv_icon

19:58 Uhr, 13.12.2011

Hallo ,

ich muss folgende Aufgabe lösen:

a)

Es sei

A = (a_{i, j}) \in ℝ^{n x n}

eine obere Dreiecksmatrix, dass heißt

a_{i, j} = 0, j < i

.
Zeigen Sie per vollständiger Induktion über

n,

dass gilt:

det A = a_{1,1} \cdot a_{2,2} \cdot . .

a_{n, n} = : \prod_{i = 1}^{n} a_{i, i}

b)

Geben sie mit Hilfe von

a)

alle Eigenwerte einer allgemeinen oberen Dreiecksmatrix

A \in ℝ^{n x n}

an.

Hier sind meine Ansätze:

Ich glaube, die oben beschriebene Matrix müsste so aussehen:

(siehe Bild)

Dann habe ich bei Wikipedia gelesen, dass "Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind die Elemente der Hauptdiagonale."

Der Eigenwert einer allgemeinen oberen Dreiecksmatrix müsste dann

{(x - 1)}^{n}

sein?
Wenn das richtig ist, woran sehe ich das? Die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind doch 1 oder nicht?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen...

Vielen Dank im Voraus!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mathe--- aktiv_icon

20:01 Uhr, 13.12.2011

Auf dem Bild ist die Matrix nicht gut erkennbar. Hier der Link:

http//de.wikipedia.org/wiki/Unipotente_Matrix

Sams83 aktiv_icon

15:15 Uhr, 14.12.2011

Hallo,

das Bild, das Du eingefügt hast, ist das einer speziellen oberen Dreiecksmatrix. Allgemein hat sie folgende Form,

d . h

. auf der Diagonalen stehen nicht unbedingt nur Einsen.

Zum Beweis: Es steht ja schon da, dass es mit Induktion zu beweisen ist.
Also fange mit dem Induktionsanfang für

n = 2

an.
Beim Induktionsschritt nimmst Du an, dass es für eine Matrix nxn gilt, und zeigst, dass es dann auch für eine Matrix

(n + 1) x (n + 1)

gilt, indem Du die Determinante nach der letzten Zeile entwickelst.

Klappt das?

Mathe--- aktiv_icon

20:23 Uhr, 14.12.2011

Hallo,

wie lautet denn die Matrix?

Sams83 aktiv_icon

20:50 Uhr, 14.12.2011

So,

z . B . :

http//de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksmatrix#Beispiele

Mathe--- aktiv_icon

21:03 Uhr, 14.12.2011

Danke

und wie fange ich an? Bei der vollständigen Induktion setzt ich ja für

n

n + 1

ein. Aber wie mache ich das bei der Matrix?

und du hast geschrieben, dass der Induktionsanfang

n = 2

ist. muss er nicht

n = 1

sein?

Sams83 aktiv_icon

22:34 Uhr, 14.12.2011

Ja,

n = 1

ist richtig. Wobei ich mich fragen würde, ob man das auch als Dreiecksmatrix bezeichnet, eine einfache Zahl. Aber geht glaube ich.

Für den Induktionsschritt dann wie gesagt eine

n + 1 x n + 1

Dreiecks-Matrix annehmen, und

z . B

. nach der letzten Zeile oder aber der ersten Spalte entwickeln.

Dann sind alle Summanden 0 (weil die meisten Einträge in der Spalte und Zeile gleich 0 sind. Nur ein Summand bleibt stehen, nämlich (bei der Entwicklung nach Zeile):

a_{n + 1, n + 1} \cdot det (A_{n})

wobei

A_{n}

ne Dreiecksmatrix ist.
Dann die Induktionsvoraussetzung einsetzen, fertig :-)

Mathe--- aktiv_icon

22:38 Uhr, 14.12.2011

: S

was heißt: " eine n+1xn+1 Dreiecks-Matrix annehmen? " ? :-)

Sams83 aktiv_icon

22:39 Uhr, 14.12.2011

Eine Matrix mit

n + 1

Zeilen und

n + 1

Spalten...

Mathe--- aktiv_icon

22:57 Uhr, 14.12.2011

So? :

(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n + 1} \\ 0 & a_{22} & ⋮ \\ 0 & 0 & a_{(n + 1) (n + 1)} \end{matrix})

Sams83 aktiv_icon

23:12 Uhr, 14.12.2011

Ja, genau so...hast zwar ein paar Punkte vergessen, aber ist denke ich klar.

Nun nach der letzten Zeile entwickeln.

Mathe--- aktiv_icon

23:15 Uhr, 14.12.2011

Hallo

ich habe nach der 3. Zeile entwickelt und bin auf folgende Determinante gekommen:

a_{(n + 1) (n + 1)} \cdot A (n)

. und

A (n)

ist eine obere Dreicksmatrix mit

(\begin{matrix} a_{11} & a_{21} \\ 0 & a_{22} \end{matrix})

Ist das richtig?

Sams83 aktiv_icon

23:16 Uhr, 14.12.2011

Das stimmt so, wenn Du ne 3x3-Matrix hast. Dasselbe funktioniert aber auch für ne beliebig große Matrix (deswegen

n + 1

Zeilen und Spalten, Du musst in Deiner Matrix noch die Punkte "nach unten hin" vervollständigen, also kann ja auch ne 5x5-Matrix sein)

Mathe--- aktiv_icon

23:20 Uhr, 14.12.2011

Wie schreibe ich dann dieses

A (n)

auf?
kommen die Punkte nach

a_{22}

oder zwischen

a_{11}

und

a_{22}

Mathe--- aktiv_icon

23:31 Uhr, 14.12.2011

{det A}_{n + 1} = a_{(n + 1) (n + 1)} (\begin{matrix} a_{11} & x_{12} & \dots \\ 0 & a_{22} & \dots \\ 0 & 0 & ⋱ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix})

ist das jetzt richtig?

Sams83 aktiv_icon

23:54 Uhr, 14.12.2011

det (A_{n + 1}) = det (\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & ... & a_{1, n + 1} \\ 0 & a_{2,2} & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & a_{3,3} & ... & ... . \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & a_{n + 1, n + 1} \end{matrix}) = a_{n + 1, n + 1} \cdot det (\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & ... & a_{1, n} \\ 0 & a_{2,2} & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & a_{3,3} & ... & ... . \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & a_{n, n} \end{matrix})

Induktionsvorraussetzung für

n

einsetzen:

= a_{n + 1, n + 1} \cdot a_{1,1} \cdot a_{2,2} \cdot . .

\cdot a_{n, n}

= a_{1,1} \cdot a_{2,2} \cdot . .

\cdot a_{n, n} \cdot a_{n + 1, n + 1}

= \prod_{i = 1}^{n + 1} a_{i, i}

Fertig, die Formel ist für

n + 1

bewiesen. Ok?

Mathe--- aktiv_icon

13:01 Uhr, 15.12.2011

Super,

Deine Antworten haben mir sehr gut geholfen...Vielen Dank!!!

Somit ist Aufgabe

1 a

und Aufgabe

1 b

gelöst, oder?

Mathe--- aktiv_icon

13:08 Uhr, 15.12.2011

doch nicht. muss noch die Eigenwerte berechnen. ich versuche das jetzt mal

Mathe--- aktiv_icon

13:18 Uhr, 15.12.2011

Hallo

Ich habe gelesen, dass die Eigenwerte mit den Diagonaleinträgen übereinstimmen.
Sind die Eigenwerte dann so:

λ_{1} = a_{1,1}

λ_{2} = a_{2,2}

λ_{3} = a_{3,3}

. .

λ_{n + 1} = a_{(n + 1), (n + 1)}

ist meine Überlegung richtig?

Sams83 aktiv_icon

15:17 Uhr, 15.12.2011

Ja, korrekt. Ist klar, warum die Eigenwerte genau die Diagonaleinträge sind?

Mathe--- aktiv_icon

15:22 Uhr, 15.12.2011

Nein, leider nicht

Mathe--- aktiv_icon

15:33 Uhr, 15.12.2011

Könntest du mir den Grund bitte sagen

Vielen Dank

Sams83 aktiv_icon

16:00 Uhr, 15.12.2011

Die Eigenwerte einer Matrix lassen sich bestimmen durch:

det (A - λ E) = 0

Rechnet man

A - λ E

bei einer Dreiecksmatrix

A_{n},

sind die Diagonaleinträge nun

a_{1,1} - λ, a_{2,2} - λ, a_{3,3} - λ, ... a_{n, n} - λ

Es handelt sich immer noch um eine Dreiecksmatrix, weil die unteren linken Matrixeinträge alle 0 sind. Die Determinante der neuen Matrix

A - λ E

lässt sich also durch die in

a)

gezeigte Formel bestimmen:

det (A - λ E) = 0

(a_{1,1} - λ) \cdot (a_{2,2} - λ) \cdot (a_{3,3} - λ) \cdot ... \cdot (a_{n, n} - λ) = 0

Das Produkt ist 0 wenn einer der Faktoren 0 ist. also

λ_{1} = a_{1,1}, λ_{2} = a_{2,2}, ... λ_{n} = a_{n, n}

Ok?

Mathe--- aktiv_icon

16:09 Uhr, 15.12.2011

Alles verstanden.

Vielen Dank für deine Antworten.

Mathe--- aktiv_icon

16:16 Uhr, 15.12.2011

Danke

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