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Determinante einer 2025x2025 bestimmen

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Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Matrizenrechnung

sabsi

09:40 Uhr, 21.01.2025

Hey,

Ich soll die Determinante einer 2025x2025 Matrix bestimmen. die Matrix hat alles Einträge über eine 1. nur auf der Hauptdiagonale steht überall eine 15.

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Wenn man die Dimension der Matrix betrachtet muss es da einen "Trick" geben. Weil Laplace-Entwicklung oder sowas bringt mich bei den ganzer 1ern auch nicht weiter oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

10:13 Uhr, 21.01.2025

> die Matrix hat alles Einträge über eine 1. nur auf der Hauptdiagonale steht überall eine 15.

Das über irritiert mich. Meinst du das so, dass alle Matrixelemente außerhalb der Hauptdiagonale jeweils gleich 1 sind?

michaL aktiv_icon

10:22 Uhr, 21.01.2025

Hallo,

zunächst eine Rückfrage:
Handelt es sich um folgende Matrix?

(\begin{array}{rrrrr} 15 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 15 & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & \dots & 1 & 15 & 1 \\ 1 & \dots & \dots & 1 & 15 \end{array})

Falls ja, so ergibt sich eine weitere Rückfrage: Handelt es sich um einen Wettbewerb? (Dort werden solche Fragen mit Dimension als Jahreszahl gerne gestellt!)
In dem Fall wäre es irgendwie gemogelt, hier nachzufragen.

Ich gehe mal von dieser Matrix aus und davon, dass es keine Wettbewerbsaufgabe ist.

Dann solltest du mal folgende Matrizen (bzw. deren Determinanten) berechnen:

A_{0} := (25)

A_{1} := (\begin{array}{rr} 15 & 1 \\ 1 & 15 \end{array})

A_{2} := (\begin{array}{rrr} 15 & 1 & 1 \\ 1 & 15 & 1 \\ 1 & 1 & 15 \end{array})

A_{3} := (\begin{array}{rrr} 15 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 15 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 15 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 15 \end{array})

Noch ein Tipp: Faktorisiere die Ergebnisse!
Dann erhältst du eine Idee für einen Term für

\det (A_{n})

. Diese Idee beweist du mit vollständiger Induktion. Schließlich ist die gesuchte Determinante die von

A_{2024}

. (Nein, ich glaube mich nicht im Index geirrt zu haben!)

Mfg Michael

HAL9000

10:26 Uhr, 21.01.2025

Allgemein: Matrix der Dimension

n \times n

mit

a

auf der Hauptdiagonale und

b

sonst

Alternativ zu dem obigen Induktionsgedanken kann man das Ergebnis auch ziemlich direkt sehen, wenn man von den Zeilen 2 bis

n

jeweils die erste Zeile subtrahiert (ist determinantenerhaltende Operation), und anschließend den Laplaceschen Entwicklungssatz auf die erste Spalte der so entstehenden Matrix anwendet.

sabsi

11:15 Uhr, 21.01.2025

Ok, das "über" in meinem ersten post irritiert mich auch. Sorry für den verwirrenden Text.

Ja, es ist die Matrix die MichaL aufgeschrieben hat. Und Nein es ist kein Wettbewerb sondern Übungen die wir für die Klausur bekommen haben.

----- Habe jetzt mal die Induktionsidee versucht:

d e t (A_{1}) = 1 5^{2} - 1 = 224

d e t (A_{2}) = 1 5^{3} - 3 * 15 + 2 = 3332

d e t (A_{3}) = ? ? ? = 49392

ok hier komm ich nicht auf die allgemeine Formel.

Dann versuch ich mal den Ansatz mit den Zeilenumformungen (von HAL9000):

Wenn ich von den Zeilen

2

bin

n

jeweils die erste abziehe erhalte ich in der ersten Spalte:

a_{i 1} = - 14

für i=2,...,n

a_{11} = 15

Die Matrizen die beim Entwicklungsatz entstehen sind dann aber alles Dreiecksmatritzen. Aber komme da dann auf keine Formel, weil das Vorzeichen ändert sich ja in jeder Zeile.

HAL9000

11:20 Uhr, 21.01.2025

Ok, mal als Hilfestellung den ersten Schritt ausgeführt. Sei

A_{n} = (\begin{array}{cccccc} a & b & b & \dots & b & b \\ b & a & b & \dots & b & b \\ b & b & a & \dots & b & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & a & b \\ b & b & b & \dots & b & a \end{array})

, dann gilt gemäß der vorgeschlagenen Vorgehensweise

\det (A_{n}) = \det (\begin{array}{cccccc} a & b & b & \dots & b & b \\ b - a & a - b & 0 & \dots & 0 & 0 \\ b - a & 0 & a - b & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ b - a & 0 & 0 & \dots & a - b & 0 \\ b - a & 0 & 0 & \dots & 0 & a - b \end{array})

Bei Anwendung des Entwicklungssatzes für die ersten beiden Spalteneinträge bleiben Diagonalmatrizen (!) übrig. Für die Einträge der Zeilen

k = 3

bis

n

entstehen Matrizen, die durch

(k - 2)

Spaltenvertauschungen (resultiert jeweils in Vorzeichenwechsel der zugehörigen Determinante) in dieselbe Diagonalmatrix wie bei

k = 2

münden.

sabsi

11:21 Uhr, 21.01.2025

ok habe nun mit bisschen "Rumprobieren" eine Formel gefunden:

d e t (A_{n}) = (15 - 1)^{n} \cdot (15 + n)

probiere mich damit mal an der Induktion

HAL9000

12:14 Uhr, 21.01.2025

Zunächst mal muss ich noch anmerken, dass mein

A_{n}

mit Dimension

n

gemeint war, während das

A_{n}

von michaL die Dimension

n + 1

aufweist. Ich benenne meins daher um in

B_{n}

und es besteht der Zusammenhang

A_{n} = B_{n + 1}

.

Die Berechnung der Determinante geht noch etwas einfacher als oben beschrieben, und zwar so: www.matheboard.de/thread.php?postid=2227637#post2227637

D.h. man bekommt

\det (A_{n}) = \det (B_{n + 1}) = (a + n b) \cdot {(a - b)}^{n}

, d.h. die Formel von sabsi ist richtig für den hier zu betrachtenden Spezialfall

a = 15, b = 1

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