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Determinante einer 8x8- Matrix berechnen

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Determinanten

Tags: Determinant

SiMa121 aktiv_icon

20:18 Uhr, 27.04.2018

Hallo,
ich habe Probleme bei der Aufgabe.

Aufgabe:

(\begin{matrix} 2,1,1,1,1,1,1,1 \\ 1,2,1,1,1,1,1,1 \\ 1,1,2,1,1,1,1,1 \\ 1,1,1,2,1,1,1,1 \\ 1,1,1,1,2,1,1,1 \\ 1,1,1,1,1,2,1,1 \\ 1,1,1,1,1,1,2,1 \\ 1,1,1,1,1,1,1,2 \end{matrix})

Meine Frage wäre, ob es vorteilhaft wäre hier den Laplace Entwicklungssatz einzusetzen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

21:32 Uhr, 27.04.2018

Hallo,

ich würde ganz normal Sarrus verwenden. Man erkennt für die Determinante einer nxn-Matrix das folgende Bildungsgesetz:

2^{n} + (n - 1) - 2 \cdot n = 2^{n} - n - 1

Gruß

pivot

ermanus aktiv_icon

21:40 Uhr, 27.04.2018

Hallo,
Sarrus gilt für Matrizen mit

n > 3

gar nicht.
Mein Ergebnis ist (ohne Gewähr)

n + 1

, also 9.
Man bekommt dies mit elemtaren Zeilenumformungen ...
Gruß ermanus

P.S.: Z.B. würde eine Sarrus-analoge Methode für die
Matrix

(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

die Determinante 0 ergeben. Die ist aber doch offenbar -1.

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23:47 Uhr, 27.04.2018

@ermanus
Hast recht, dass sarrus nicht für

n > 3

gilt.

pivot aktiv_icon

02:13 Uhr, 28.04.2018

Allgeimein ist die Determinante der Matrix

A = (\begin{matrix} b & a & \dots & a \\ a & b & \dots & a \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a & a & \dots & b \end{matrix})

gleich

d e t (A) = (n a + (b - a)) \cdot (b - a)

. In speziellen Fall deiner Matrix:

(8 \cdot 1 + 1) \cdot 1 = 9

ermanus aktiv_icon

09:24 Uhr, 28.04.2018

@pivot:
ich meine, der zweite Faktor sollte

(b - a)^{n - 1}

heißen ;-)

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09:57 Uhr, 28.04.2018

@emanus Oh Mann. Natürlich hast du recht. Keine Ahnung warum ich das weggelassen habe.

ermanus aktiv_icon

09:59 Uhr, 28.04.2018

Wahrscheinlich hat die Tastatur nach der ")" geklemmt :-)

SiMa121 aktiv_icon

15:57 Uhr, 29.04.2018

Danke für die Hilfe.
Meine Frage wäre, wie kommt man auf diese Rechnung ?

ermanus aktiv_icon

16:31 Uhr, 29.04.2018

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man ein beliebiges Vielfaches
einer Zeile / Spalte zu einer anderen Zeile / Spalte addiert.
In einem ersten Schritt gehe nun so vor:
subtrahiere die 2-te von der ersten Zeile, hernach die 3-te von der 2-ten etc.
bis zur letzten von der vorletzten.
Wüsstest du nun weiter?

SiMa121 aktiv_icon

17:20 Uhr, 29.04.2018

Nein leider nicht

ermanus aktiv_icon

17:24 Uhr, 29.04.2018

Nun kannst du doch nach einander die 1-te Zeile von der letzten,
dann das 2-fache der 2-te Zeile von der letzten,
das 3-fache der 3-ten Zeile von der letzten etc. und zum Schluss das
(n-1)-fache der vorletzten Zeile von der letzten abziehen.
Wie sieht nun deine Determinante aus?

SiMa121 aktiv_icon

17:53 Uhr, 29.04.2018

Ich würde zuerst gerne fragen, ob meine Matrix richtig ist:

((- 1,1,0,0,0,0,0,0), (0, - 1,1,0,0,0,0,0), (0,0, - 1,1,0,0,0,0), (0,0,0, - 1,1,0,0,0), (0,0,0,0, - 1,1,0,0), (0,0,0,0,0, - 1,1,0), (0,0,0,0,0,0, - 1,1), (1,0,0,0,0,0,0, - 1))

Bei der letzten Zeile habe ich die erste minus die letzte gerechnet

ermanus aktiv_icon

17:54 Uhr, 29.04.2018

Kannst du bitte deine Zeile umbrechen, so ist sie nicht vollständig zu sehen :(

SiMa121 aktiv_icon

18:00 Uhr, 29.04.2018

(\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

ermanus aktiv_icon

18:06 Uhr, 29.04.2018

Keine Ahnung, wie du die letzte Zeile erzeugt hast.
Aber so ist es sicher falsch; denn deine Determinante hat nun den Wert 0 und nicht 9,
was richtig wäre.

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