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Determinante von "gespiegelter Einheitsmatrix"

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: Determinanten

harold aktiv_icon

14:56 Uhr, 18.12.2009

Hallo:-)

wie kann ich denn die Determinante von

(\begin{matrix} 0 ... . 0 ... 0 & 1 \\ 0 ... 0 ... 1 & 0 \\ 1 & 0 . . 0 ... 0 \end{matrix})

berechnen? Ich weiß es ist sehr schlecht dargestellt! aber ich hab es leider nicht besser hinbekommen:-)

also die Matrix ist beliebig lang, jedoch quadratisch. und sieht aus wie eine Einheitsmatrix die "an der mittigsten Spalte" gespiegelt wurde.

Ist die Determinante nicht

= 0

? Wenn man sie über den entwicklungssatz in viele kleinere Matrizen zerlegt, sind alle 0 meiner Meinung nach oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HP7289 aktiv_icon

16:43 Uhr, 18.12.2009

Ich zeige es dir am Beispiel

n = 3

und du machst dann den allgemeinen Fall:

Wichtig zu wissen:

det (A) = - det (B),

wenn

B

durch das Vertauschen zweier Zeilen aus A hervorgegangen ist.

(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

(Vertauschen der ersten und dritten Zeile)

\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

\Rightarrow det ((\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})) = - det (E) = - 1

harold aktiv_icon

16:57 Uhr, 18.12.2009

Versteh ich das richtig, dass wenn man also dann 3 Zeilen tauscht

det (B) = det (A)

wieder gilt?

wenn die Matrix also

n

zeilen und spalten hat, führt man

n - 1

Zeilenvertauschungen durch.
wenn

n

dann eine gerade zahl ist wäre

det (A) = det (B) = 1

und bei

n

ungerade

det (A) = det (B) = - 1

.

stimmt das?

HP7289 aktiv_icon

17:06 Uhr, 18.12.2009

Das war ein Schnellschuss.

det (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = - 1

Mach mal eine Tabelle:

n

Anzahl Zeilentausch
1
2
3
4
5
6
7

Füll die mal aus, dann kommst du drauf.

harold aktiv_icon

17:13 Uhr, 18.12.2009

Ich glaube ich bin auch ohne ausfüllen drauf gekommen. bin mir aber nicht sicher.

Also ist

n

gerade so müssen wir

n

zeilenvertauschungen durchführen also

det (A) = - 1

ist

n

ungerade so führen wir

n - 1

vertauschungen durch, dann ist

det (A)

aber auch

= - 1

oder?

außerdem würde mcih interessieren, führt man

z . b

. 3 zeilenvertauschungen durch, wäre dann wieder

det (A) = 1

HP7289 aktiv_icon

17:26 Uhr, 18.12.2009

Du brauchst keine

n

Vertauschungen.

Beispiel:

n = 4

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

(1

. und 4. Zeile vertauschen)

\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

(2

. und 3. Zeile vertauschen)

\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

2 Vertauschungen, also

det (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = (- 1) \cdot (- 1) \cdot det (E) = det (E) = 1

harold aktiv_icon

17:59 Uhr, 18.12.2009

Ja ich habe es falsch ausgedrückt aber richtig verstanden.

also

\frac{n}{2}

vertauschungen wenn egal ob

n

gerade ist.
ist

n

ungerade fürht man

\frac{n - 1}{2}

vertauschungen durch richtig?

HP7289 aktiv_icon

14:28 Uhr, 19.12.2009

Richtig.

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