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Determinantenverfahren
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Algebra
 
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anonymous 18:17 Uhr, 21.10.2005  |
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Habe diese Aufgabe und da ich beim Determinantenverfahren eh schon auf dem Schlauch stehe wär es lieb wenn mir das jemand mal Schritt für Schritt anhand der Aufgabe erklären könnte 3x - 4y = -1 -x + y = 8 Vielen lieben Dank für eure Antwort Laura |
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ich versuch es mal zu erklären Bei einer Matrix höherer Ordnung bildet man die determinanten mit hilfe von Unterdeterminanten. Ich weiß aber nicht wie weit ihr in der schule seid und wo genau hast du fragen? |
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88. L�sung linearer Gleichungssysteme durch den Algorithmus von Cramer. (�Cramersche Regel�) 88.1. Vorstellung des L�sungsverfahrens L�sungsverfahren f�r LGS mit 2 Unbekannten nach Cramer: 1. Beispiel: 3x + y = 15 5x - 6y = 2 x y L 1. Schritt: Koeffizientenmatrix: Man notiert die Koeffizienten in einer Matrix, so wie sie im Gleichungssystem stehen 3 1 5 -6 x y 2. Schritt: Berechnung der Determinante der Matrix a) Bildung der Hauptdiagonale, sie verl�uft von links oben nach rechts unten, das sind also 3 und -6 b) Bildung der Nebendiagonale, sie verl�uft von links unten nach rechts oben, das sind also 5 und 1 D = Hauptdiagonalenprodukt - Nebendiagonalenprodukt = (3* -6) - ( 1*5) = -18 - 5 = -23, das Ergebnis brauchen wir sp�ter. 3.Schritt: BERECHNUNG VON X Ersetzen der Spalte f�r die Variable x (also der ersten) in der Koeffizientenmatrix durch die Spalte f�r die L�sung (hinten, nach dem Gleichheitszeichen) 15 1 2 -6 L y Berechnung der Deteminante Dx = 15 * -6 - 1*2 = -90 - 2 = -92 (wieder Produkt Hauptdiagonale - Produkt Nebendiagonale) x = Dx / D = -92 / -23 = 4 4.Schritt: BERECHNUNG VON Y Substitution des y - Vektors durch den L�sungsvektor (also jetzt die 2.Spalte der Koeffizientenmatrix) 3 15 5 2 x L Berechnung der Derminante Dy = 3*2 - 15*5 = 6 -75 = -69 y = Dy / D = -69 / -23 = 3 5. L�sung: x = 4, y = 3 ________________________ 2. Beispiel: 2x � 5y = 1 3x � 2y = 7 D = Determinante der Koeffizientenmatrix D = = -4 � (-15) = 11 Dx = = -2 � (-35) = 33 , x = 33:11 = 3 Dy = = 14 � 3 = 11 ïƒ y = 11:11 = 1 88.2. Zusammenhang von L�sbarkeit von LGS und Determinanten SATZ: Ein lineares Gleichungssystem ist dann unl�sbar, wenn die Determinante D der Koeffizientenmatrix = 0 ist. Bsp.: 4x + 8y = 20 2x + 4y = 10 Dieses LGS h�tte unendlich viele L�sungen, da die 2. Gleichung unmittelbar aus der 1. Gleichung durch Division durch 2 hervorgeht. Grafische Interpretation: Wenn D = 0 ist, ergibt sich entweder kein Schnittpunkt , d.h. die Graphen der beiden Gleichungen verlaufen parallel oder (genau dann, wenn beide Gleichungen durch Multiplikation ineinander �berf�hrt werden k�nnen), sie sind identisch Beispiel: Lineare Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten: Die Summe der Kantenl�ngen eines Quaders betr�gt 320 cm. Verk�rzt man eine Kante auf die H�lfte, die 2. auf ein Drittel und verl�ngert die 3. auf das Doppelte, so betr�gt die Summe der Kantenl�ngen 380 cm. Verl�ngert man aber die erste Kante auf das Doppelte, verk�rzt die 2. auf ein Drittel und die dritte auf ein Viertel, so ist die Summe der Kantenl�ngen nur noch halb so gro� wie beim Ausgangsquader. Wie lang sind die die Kanten im Ausgangsquader ? Zun�chst das LGS aufstellen: (Hier aufpassen: Jede Kante kommt im Quader 4mal vor !) Ausgangsquader : 4a + 4b + 4c = 320 1. Variante : 2a + 4/3 b + 8c = 380 2. Variante : 8a + 4/3 b + c = 160 L�SUNGSVERFAHREN NACH CRAMER: 1. Schritt: Koeffizientenmatrix: Man notiert die Koeffizienten in einer Matrix, so wie sie im Gleichungssystem stehen 4 4 4 2 4/3 8 8 4/3 1 2. Schritt: Berechnung der Determinante der Matrix nach dem Verfahren von Sarrus a) Bildung der sog. Hauptdiagonalen, sie verlaufen von links oben nach rechts unten. Dazu f�gt man die beiden linken Spalten der Matrix einfach nochmals an ("Sarrus"): 4 4 4 | 4 4 2 4/3 8 | 2 4/3 8 4/3 1 | 8 4/3 b) Man bildet das Produkt in jeder der 3 Hauptdiagonalen: 4 * 4/3 * 1 = 16/3 4 * 8 * 8 = 256 4 * 2 * 4/3 = 32/3 c) Addition der 3 Produkte : 16/3 + 256 + 32/3 = 272=H d) Bildung der sog. Nebendiagonalen, sie verlaufen von links unten nach rechts oben e) Man bildet das Produkt in jeder der 3 Nebendiagonalen: 4 * 4/3 * 8 = 42 2/3 4 * 8 * 4/3 = 42 2/3 4 * 2 * 1 = 8 f) Addition dieser 3 Produkte: 42 2/3 + 42 2/3 + 8 = 93 1/3 =N g) Die Determinante ergibt sich aus der Differenz der Summe der Produkte der Hauptdiagonalen - Summe der Produkte der Nebendiagonalen: D = H-N=272 - 93 1/3 =178 2/3. 3.Schritt: Substitution des Vektors der zu ermittlenden Variablen a durch den L�sungsvektor und Berechnung dieser Determinante Da = 1786 2/3 4.Schritt : Division Da / D a = 1786 2/3 : 178 2/3 = 10 5. Schritt: Nun Substitution des Vektors b durch den L�sungsvektor und Berechnung der Determinante 6. Schritt: b = Db / D b = 5360 : 178 2/3 = 30 7. Schritt:Nun Substitution des Vektors c durch den L�sungsvektor und Berechnung der Determinante 8. Schritt: c = Dc/D c = c=7146 2/3 : 178 2/3 = 40 |
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Aufgrund der unmöglichen Formratierung hier kann ich den Text auch als *.doc verschicken, incl. einer Excel-Tabelle für LGS nach Gauß-Algorithmus, Cramerschem Determinantenverfahren und Lösung durch inverse Matrizen |
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